BULETINA BOLETÍN
EUSKADIKO MATEMATIKA IRAKASLEEN ELKARTEA SOCIEDAD DE PROFESORADO DE MATEMÁTICAS DE EUSKADI Nº 2 Zk 2018
EMIE 20+11 Euskadiko Matematika Irakasleen Elkarteak, bere urteroko eginbideari berriro helduz, bere buletinaren ale berri hau eskeintzen dizue, zuei matematika-irakasle zareten guztioi eta, hedaduraz, matematika maite duen edonori. Berriro ere, Elkartea eta bere buletina zuretzat zabalik daudela gogoratzen dizugu: zabalik eta irrikitan EHEAko matematika irakasleen artean gelako esperientziak konpartitzeko. Zain gaituzu. EMIE 20+11ren jarduerak ikusgai dituzue web horretan: https://sites.google.com/site/ 2011emie/ eta gurekin harremanetan jartzeko e-mailaren bidez 2011emie@gmail.com
La Sociedad de Profesorado de Matemáticas de Euskadi, EMIE 20+11, llega nuevamente a su cita anual para ofreceros este nuevo ejemplar de su boletín: a vosotras y vosotros, profesorado de matemáticas y también, por extensión a cuanto amante de la materia quisiera acercarse a leerlo. Volvemos a recalcar lo mucho que nos complacería contar con cuantas aportaciones quisiérais hacernos llegar: nuestra voluntad y querencia siempre ha sido la de tener un boletín abierto a todas y a todos. Os esperamos. Todas las actividades de la Sociedad están disponibles en https://sites.google.com/site/ 2011emie/ y la dirección de contacto es 2011emie@gmail.com
AURKEZPENA PRESENTACIÓN
PROBLEMEN TXOKOA - EL RINCÓN DE LOS PROBLEMAS Dos problemas para pensar un poco (Santiago Fernández) .....................................................................................................................................................................4 Kanpoko ebaluazioak eta gaitasunetabn oinarritutako Hezkuntza / Las evaluaciones externas y la Educación basada en competencias (Emilio Azueta).............................................................10 IKASGELAKO ESPERIENTZIAK - EXPERIENCIAS DE AULA Very flipar ! ;-) A falta de profesor buenas son CASIO (Goyo Lekuona) ...................................................................................................................................................15 Egiaztatu, ez ahaztu ;-) Irakaslearen faltan, ondo dator CASIO (Goyo Lekuona) ..........................................................................................................................23 GEOGEBRAREN TXOKOA - EL RINCÓN DE GEOGEBRA Modelización con Geogebra: La medida del área de las superficies planas (Fernando Fouz)...........................................................................30 HISTORIARI SO - UNA MIRADA A LA HISTORIA Los "Elementos" de Euclides y su importancia en la historia de las Matemáticas (Santiago Fernández) ..........................36 GURE OLINPIADAK - NUESTRAS OLIMPIADAS Olinpiada matematikoak, 2016/2017 ikasturtean (Ana Fernandez de Betoño) ..............................................................................................................................50 Betoño).................................................................................................................................................................................72 WEB INTERESGARRIAK - WEBS INTERESANTES Dozena bat baliabide matematika ikas-irakasteko (José Manuel lópez Irastotza) .......................................................................................................................................................................... 79 SASKI-NAHASKI - CAJÓN DE SASTRE Liburuak/Libros (Alberto Bagazgoitia).................................................................. 81 Albisteak/Informaciones (Alberto Bagazgoitia).......................................... 96 HURRENGORA ARTE - HASTA EL PRÓXIMO.............................................................................. 101
AURKIBIDEA ÍNDICE
LIBURUAK - LIBROS Alberto Bagazgoitiak eginiko atala / Sección realizada por Alberto Bagazgoitia........................................................................................................................58
BURUA LANEAN IPINIZ 1 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
Dos problemas para pensar un poco Santiago Fernández Asesor de Matemáticas del Berritzegune Nagusia Hay problemas que me han perseguido durante años. Algunos requieren conocimientos “serios” de matemáticas y otros un poco de ingenio y organización mental. El que aquí presentamos corresponde a la última categoría.
Como ya he comentado, es un problema que durante algún tiempo me tuvo ocupado. Mi objetivo era resolver la cuestión y de paso responder a una más general “si tenemos N bolas y una distinta, ¿cuántas pesadas serán necesarias para descubrir la bola distinta?” Respecto a la primera cuestión diremos que no hay una sola forma de resolverla. Antes de leer la solución, tómate un tiempo.
Problema 1 Tenemos 12 bolas de metal. Las 12 bolas tienen la misma apariencia y forma, pero una de ellas pesa distinto a las otras (no sabemos si pesa más o pesa menos). Con una balanza de dos brazos, tenemos que conseguir en tres pesadas, como máximo, averiguar cuál es la bola que pesa distinto al resto. Y si pesa más o menos que el resto de las bolas.
BURUA LANEAN IPINIZ EL RINCÓN DE LOS PROBLEMAS PROBLEMEN TXOKOA HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
Problema auxiliar Si sabes que la moneda que pesa diferente pesa más y solo puedes realizar una pesada con la balanza ¿Cuántas monedas podemos tener como máximo para solucionar el problema?
Una buena estrategia puede ser: ¿Conocemos algún problema más sencillo?
BURUA LANEAN IPINIZ 2 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
A primera vista parece que la opción más lógica es tomar 3 y 3 monedas en una pesada, pero ¿es así? (RAZONA UN POCO)
Después de pensar un poco te darás cuenta que con 4 monedas no lo conseguirás (pruébalo), la única forma es con 3 monedas. Este pequeño problemilla nos muestra que para solucionar nuestro problema más general, antes de la última pesada (la tercera pesada) tienes que haber descartado 9 monedas y tener como candidatas 3, ya que si llegan cuatro al final no lo resolveremos. Comencemos a acercarnos al problema ¿Cuántas bolas poner en la primera pesada? Lógicamente hay que intentar descartar en cada pesada el mayor número de monedas y además intentar adivinar qué monedas pueden pesar más o menos. Por ejemplo, si de 12 monedas pones 6 en una bandeja de la balanza y otras 6 en otra, no conseguirás descartar ninguna y esto es importante para conocer qué monedas pesan igual. Razonando con 5 y 5 descartaríamos 10 si pesan igual, pero si no, tenemos un problema pues no sabemos dónde está la distinta (ya que puede pesar más o menos), por tanto parece lógico pensar que las dos posibilidades más plausibles son :
3 monedas y 3 monedas Si la balanza se equilibra: Descartas las 6 de la balanza. Si pesa más de un sitio que de otro: Descartas las 6 apartadas. 4 monedas y 4 monedas Si la balanza se equilibra: Descartas las 8 de la balanza Si pesa más de un sitio que de otro: Descartas las 4 apartadas
Caso 1.2.1) La balanza se equilibra. Entonces sabremos que la bola (11) pesa más o menos que el resto (dependiendo de lo que hubiera sucedido en la segunda pesada) Caso 1.2.2) La balanza se inclina hacia uno de los lados. Dependiendo de la información obtenida en la segunda pesada, sabremos que la bola pesa más o menos que el resto, y por lo tanto, la bola que en este caso también suba, o también baje, será la que pese distinto. Pesará menos si su lado de la balanza sube, y pesará más si su lado de la balanza baja.
Caso 1.1) La balanza se equilibra. Con esto nos queda claro que la bola que pesa distinto es la (12), así que únicamente tendríamos que hacer una última pesada comparándola con cualquier otra bola, (1) por ejemplo, y determinar si la (12) pesa más o menos que el resto. Caso 1.2) La balanza se inclina para uno de los lados. Como sabemos que (1, 2, 3) no son bolas que pesen distinto, si (9, 10, 11) baja será una de estas la que pese más, y si sube será una de estas la que pese menos. Para la tercera pesada tomaremos las bolas (9) y (10) y las compararemos.
Caso 1
Solución Como ya hemos comentado, la idea principal del problema es dividirlo en casos más sencillos (Divide y vencerás) . Lo primero que haremos es codificar (una buena notación es importante) las bolas, así tenemos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12. Posteriormente hemos deser organizados En la primera pesada pondremos cuatro bolas a un lado (1, 2, 3, 4), y otras cuatro bolas a otro lado (5, 6, 7, 8), dejando otras cuatro bolas fuera de la balanza (9, 10, 11, 12). De este modo tendremos tres grupos de cuatro bolas bien diferenciados. Ahora, dependiendo de cuál sea el resultado, tomaremos un camino u otro. A continuación se exponen todos los posibles resultados con sus correspondientes derivaciones.
2.-¿Cómo trabajar en la resolución de problemas?
La balanza se equilibra. Con esto podemos deducir que en el conjunto de bolas : (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) no está la bola que pesa distinto al resto (DEDUCCIÓN). Por tanto, la bola distinta tiene que estar en el grupo (9, 10, 11, 12). Para la segunda pesada, tomaremos tres bolas de este último grupo, por ejemplo las 9, 10 y 11 y las pondremos en un lado de la balanza, poniendo en el otro a tres bolas que sabemos que pesan lo normal (1, 2, 3).
BURUA LANEAN IPINIZ 3 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
La balanza se desequilibra hacia (5, 6, 7, 8). Por lo tanto sabemos que una bola de (5, 6, 7, 8) pesa más que el resto o una bola de (1, 2, 3, 4) pesa menos que el resto. Para la siguiente pesada tendremos que dividir, tal y como hemos hecho al principio, estas 8 bolas en tres grupos iguales (o similares) para poder dividir el problema. Así que, ponemos en un lado de la balanza (5, 6, 1) y en el otro lado de la balanza (7, 8, 2), dejando (3) y (4) fuera de la balanza.
Caso 3
Caso 2
La balanza se desequilibra hacia (1, 2, 3, 4). Por lo tanto sabemos que (DEDUCCIÓN) una bola de (1, 2, 3, 4) pesa más que el resto o una bola de (5, 6, 7, 8) pesa menos que el resto. Para la siguiente pesada tendremos que dividir, tal y como hemos hecho al principio, estas 8 bolas en tres grupos iguales (o similares) para poder dividir el problema. Así que, ponemos en un lado de la balanza (1, 2, 5) y en el otro lado de la balanza (3, 4, 6), dejando (7) y (8) fuera de la balanza.
Caso 2.1) La balanza se equilibra. En este caso sabemos que (7) u (8) pesa menos que el resto. Bastará con poner una bola en cada lado de la balanza, y la bola que se desplace hacia arriba será la que pese menos que el resto. Caso 2.2) La balanza se inclina hacia (1, 2, 5). En este caso sabemos que, (1) o (2) pesa más que el resto, o bien (6) pesa menos que el resto. Bastará con poner en la última pesada (1) a un lado y (2) al otro. Si se equilibran será (6) la que pese menos, y si se inclina para un lado, será la bola en ese lado la que pese más que el resto. Caso 2.3) La balanza se inclina hacia (3, 4, 6). En este caso sabemos que, (3) o (4) pesa más que el resto, o (5) pesa menos que el resto. Bastará con poner en la última pesada (3) a un lado y (4) al otro. Si se equilibran será (5) la que pese menos, y si se inclina para un lado, será la bola en ese lado la que pese más que el resto.
Caso 3.1) La balanza se equilibra. En este caso sabemos que (3) o (4) pesa menos que el resto. Bastará con poner una bola en cada lado de la balanza, y la bola que vaya para arriba será la que pese menos que el resto.
BURUA LANEAN IPINIZ 4 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
El siguiente problema me lo encontré en la revista CAROLLIA, propuesto por Miguel Angel Lerma en Marzo de 1996. Es un precioso problema de geometría en el que tenemos que saber algo de números.
Esta solución es CONSTRUCTIVA, ya que nos permite seguir todo el proceso desde el principio hasta el final de manera algorítmica. Existe la posibilidad de en los casos 2 y 3, para la segunda pesada tomar cuatro bolas y cuatro bolas, rellenando con dos bolas de las que ya has descartado, pero es algo innecesario, ya que se puede hacer perfectamente sin ellas. Desde luego hay otras maneras. Este esquema es suficientemente ilustrativo de una solución ligeramente distinta a la presentrada.
Caso 3.2) La balanza se inclina hacia (5, 6, 1). En este caso sabemos que, (5) o (6) pesa más que el resto, o (2) pesa menos que el resto. Bastará con poner en la última pesada (5) a un lado y (6) al otro. Si se equilibran será (6) la que pese menos, y si se inclina para un lado, será la bola en ese lado la que pese más que el resto. Caso 3.3) La balanza se inclina hacia (7, 8, 2). En este caso sabemos que, (7) o (8) pesa más que el resto, o (1) pesa menos que el resto. Bastará con poner en la última pesada (7) a un lado y (8) al otro. Si se equilibran será (1) la que pese menos, y si se inclina para un lado, será la bola en ese lado la que pese más que el resto.
BURUA LANEAN IPINIZ 5 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
El triángulo ABC no es equilátero. Imagínese con la base en el eje X, y sus vértices respectivamente en los puntos A(0,0), B(c,0) y C(p,q). Supongamos que los lados del triángulo b = AC, a = BC y c = AB son distintos. Ahora construimos un nuevo valor , que claramente es racional. Tomando p' = c-p obtenemos que el punto D(p',q) es distinto de los otros, no está alineado con ningún par de ellos( Compruébalo), y está a distancias racionales de ellos: DA=a, BD=b, DC=|p-p'|. Si el triángulo ABCes equilátero. Como el problema no cambia, por homotecias racionales ( CONOCIMIENTO MATEMATICO) podemos suponer que sus lados valen 1. Por tanto, suponemos que sus vértices están en los puntos A(0,0), B(1,0) y respectivamente. Y ahora se trata de jugar un poco con números (Ensayo error) para intentar encontrar la solución. Un punto que resuelve el problema es : siendo así DA = 8/7, DB = 3/7, DC = 5/7. ¿Habrá otros puntos? Trata de pensar un poco.
Problema 2. Dados tres puntos distintos cualesquiera en el plano no situados en línea recta y, a distancias racionales entre ellos, ¿será cierto que siempre se puede hallar otro punto en el plano también a distancia racional de cada uno de los puntos dados y no alineado con ningún par de ellos?
BURUA LANEAN IPINIZ 6 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
Es conveniente comprender perfectamente el enunciado, se habla de distancias racionales, puntos no alineados, etc. Es claro que si no imponemos la condición de no estar alineados el problema es inmediato ( piénsalo un poco) Por otra parte, quizás te conviene analizar casos más simples( triángulos rectángulos, equiláteros, isósceles, etc.) Es posible que un dibujo nos ayude a resolverlo, una buena notación para ir analizando el problema también es un buen recurso. La solución exige examinar dos casos:
BURUA LANEAN IPINIZ 7 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
Kanpoko ebaluazioak eta gaitasunetan oinarritutako Hezkuntza Evaluaciones externas y una Educación basada en competencias Emilio Azueta A02 Berritzeguneko aholkularia
Kanpoko ebaluazioen inguruko “interesa” nabarmenki berpizturik ikusi dugu azken hilabeteetan: 2018ko PISAren hurrengo edizio berria eta ea jarraian DBH-ko 4. Eta LHko 6. mailan egingo diren “Irteera Profila”-ren ebaluazioa diagnostikoak dira, zalantza barik, horren eragileak. Artikulu labur honetan ez dut nahi kanpoko proba hauen ontasun handien edo txikienaren gaineko eztabaidan sartu. Soilik, Ebaluazioren (honela, E larriaz) inguruko eztabaidaren presentzia sostengatzen laguntzen dutela uste dudala esango dut. Zerbait, bere horretan, ona dena baina horrelako eztabaidak naturalak diren gizarteetan, Hezkuntza politikaren atzaparren salbu dagoen kulturetan bakar bakarrik onurarako motor bihurtzen dira. Ordea, han non Ebaluazioa/Hezkuntzaren inguruko eztabaida ez da ohikoa izaten, non Hezkuntza alderdi politikoen arteko azpijokoaren urrezko pieza den, han, kanpoko ebaluazioak distortsio eta errebantxismo politikorako baino ez dira baliagarriak izaten.
El “interés” por las evaluaciones externas se ha visto reavivado notablemente en los últimos meses: la proximidad de la nueva edición PISA 2018 junto con la inmediatamente posterior Evaluación de Perfil de Salida en 4º de la ESO y en 6º de Primaria son sin duda la “causa” principal de ello. En este breve artículo no pretendo entrar en el debate sobre la bondad mayor o menor de dichas pruebas externas . Sólo diré que creo que , cuando menos, ayudan a sostener la llama del debate sobre Evaluación, con mayúsculas. Algo que en sí mismo es bueno pero que sólo consigue ser motor en positivo en aquellas sociedades donde hay cultura sobre ello, donde la Educación no es un territorio politizado. En aquellas otras sociedades donde, por el contrario, debatir sanamente sobre Evaluación y/o Educación (por ejemplo) no forma parte de lo corriente, donde la Educación es moneda de cambio constante en la bolsa de la política. En estas últimas sociedades las evaluaciones externas suelen servir para la distorsión y el revanchismo partidario.
Dicho esto, llega el momento de recordar, recalcar, “poner en valor”el hecho de que vivimos en sociedades donde se dice tener currículos basados en competencias. NO “currículos” que quieren, aspiran a estar basados en competencias, NO: directamente ya basados en competencias… ¡Qué atrevimiento! Cuando yo era niño fui muy aficcionado a la serie “Star Trek” (sigo siéndolo). Quien la conozca sabe bien de lo que hablo: la nave “Enterprise”, el capitán Kirk, el señor Spock… pero lo que quiero subrayar aquí es un invento maravilloso del que estaban dotados en aquella mítica nave espacial, “el teletransportador” concretamente. Los tripulantes de la nave se metían en ello y, zas, en cuestión de segundos aparecían ya en la superficie de un planeta. El viaje instantaneo. Punto de origen y de llegada sin recorrido, sin paisaje intermedio. Así deben concebir en la clase política el tránsito desde un modelo basado en el libro de texto, la pedagogía bulímica de vomitado de contenidos en unas pruebas escritas, de los currículos extensos cual estados centrales de la USA pero tan finos como la porcelana china, de unos claustros férreamente divididos en departamentos clavados a las áreas, …, no sigo, ....así lo deben concebir: desde esa realidad hasta una situación “basada en competencias” sólo hay un “zas” a golpe de publicación en boletín y listo.
Hau esanda, kontu bat azpimarratzeko unea heldu da: gure gizarteetan, duela urte batzuk, gure curriculumak gaitasunetan oinarriturik daudela esatea ohitura bihurtu da. EZ, “gaitasunetan oinarrituak” izan nahi duten curriculumak, EZ, zuzenean , dagoenekoz izan badira horrelakoak. Bai atrebentzia !! Umetan, ni “Star Trek” telesaiozale porrokatua izan nintzen (horretan jarraitzen dut). Zuetako batzuek badakizue zertan nagoen: “Enterprise” ontzia, Kirk kapitaina, Spock jauna,… baina hona ekarri nahi dudana asmakizun liluragarri hori da: teletransportadorea, alegia. Espazio-ontzikoak berean sartu eta di-da batean, alajaina, bazeuden planeta baten azalean. Honela, bidaia suntsitua, bitartekoa desagertua. Abiapuntua eta amaiera baino ez. Bitartean ezer ez. Honela pentsatzen dute gure politikariek, antza. Sinisten omen dute testu liburuaren itzalean dagoen, era bulimikoan sartutako edukiak azterketa idatzi batean botatzean oinarrituta dagoen, edukietan Estatu Batuetako Mendebal Erdiko estatuak baino handiagoak eta aldi berean portzelana txinatarra baino meheagoak diren curriculumak dituen, arloei erabat atxikita dauden mintegi batzuetan gogorki zatiturik dauden klaustroak dituen sistema batetik “Gaitasunetan oinarritutako” sistema batera pasatzea egin daitekeela honela, ZAS! Buletinean argitaratzen dugu curriculum berria, “konpetentzietan oinarritutakoa, eta badago.
BURUA LANEAN IPINIZ 8 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
Ojo, que también está basado, el currículo, en competencias transversales. Hasta aquí me permito la ironía. Se acabó. A construir: en la comunidad donde trabajo ya a comienzos del pasado curso 2016-2017 se hizo llegar al profesorado de la red pública, en las “Orientaciones de Principio de Curso” que era cometido de todos los departamentos producir al menos una unidad didáctica por área y nivel en la que el punto de partida fuera una “situación problema”. Esto sí suena a ponerse ya a hacer camino, a recorrer la, necesariamente, larga y costosa senda que llevará convertir efectivamente la praxis real en los centros educativos en algo “basado en competencias”. El grado de aplicación durante el pasado curso fue desigual, según centros, pero algo se empezó a mover. En las Orientaciones de principio del presente curso ha vuelto a aparecer un párrafo en el que se conmina a seguir produciendo dichas unidades didácticas a partir de situaciones problema. El único pero es que, y lo digo como asesor de secundaria, me da la impresión de que en esta pelea nos dejan solos a profesorado y asesorías de los berritzegunes. Pero ahí estamos. Que los resultados PISA de 2015 en mi Comunidad no fueran los habituales ha movido al Departamento a realizar una
BURUA LANEAN IPINIZ 9 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
Eta, tira… ez ahaztu gaitasun horien artean zeharkakoak ere badaudela !! Akabo, honaino jo dut ironiaz. Eraikitzeko ordua da: nire Komunitatean, 2016-2017 ikasturteko hasierako “Orientabideetan”, aurrenekoz, mintegi bakoitzean, arlo eta maila bakoitzean, “arazo-egoera” batetik abiaturiko unitate didaktiko bat, gutxienez, egin behar zela agintzen zen. Bai honek jada bidea egiten hastera belarrira ematen du, Ikastetxeetan, benetan, egunerokotasuna zerbait “konpetentzietan oinarritua” izatera iristeko ibili behar den zidor luze eta latza egiten hastea… Ikastetxeen arabera, aplikatze-maila oso desberdina izan zen, baina zerbait martxan jarri zen. Ikasturte honen hasierako “Orinetabidetan” berriro esaten da bide horretatik jarraitzeko. Zoritzarrez, eta bigarren hezkuntzako aholkulari bezala diot, “borroka” honetan irakasleak eta aholkulariak baino ez gaudela uste dut. Baina egon, hor gaude. 2015ko emaitzan PISAn ohikoaz ez izanak nire Komunitatean bertoko Hezkuntza Departamentua nazioarteko froga honekiko sentsibilizazio kanpaina bat egiten jarri du. Berandu eta presazkoa agian baina kanpaina horrek, gutxienez, “ítem” izenko horien gainean fokoa ipini du. Bai, “arazo-egoera” kontzeptutik nahikotxo gertu dauden itemak, testu liburuko 82.
campaña de sensibilización sobre dicha prueba internacional. Quizás tarde y precipitada pero al menos la campaña ha vuelto a poner en el foco los llamados “Item”, esas “situaciones-problema” que bien pueden ser, casi todas, utilizadas en las aulas, que ejemplarizan y nutren de material el cómo poder ir sustituyen los ejercicios de la página 82 del libro de texto por otro tipo de estímulos. En lo de la metodología ni me meto. ¡Qué miedo ! El Instituto Vasco de Evaluación e Investigación Educativa (ISEI-IVEI), al calor de la citada campaña, acaba de publicar la colección histórica entera de ítem liberados PISA, en un solo volumen y ordenados por grupo de contenidos PISA . El volumen tiene una versión sin descriptores de cada pregunta (para emplear directamente con el alumnado) y otra con dichos descriptores (una versión para el profesorado, digamos).
BURUA LANEAN IPINIZ 10 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
orriaren ariketak baztertzeko kapazak izan litezkeen itemak, gure ikasleentzako beste nolabaiteko proposamen desberdinak bihurtuz. Metodologiaren kontuan ez naiz sartuko, ez. Ufff. Irakas Sistema Ebaluatu eta Ikertzeko Erakundeak (ISEI-IVEI) kanpaina honen barruan PISAren askatutako ítem guztiak bildu ditu ale bakar batean, PISAren edukien arabera sailkaturik. Ale horrek bi aldaki ditu: bat galdera guztien deskriptoreekin (irakasleentzakoa) eta beste bat deskriptorerik gabekoa (Ikasleentzakoa, demagun, gelan erabiltzeko prest).
“Arazo-egoera” horientzako beste “inspirazio” iturri ederra Diagnostiko Ebaluazio desberdinena da. Beheko irudian sakatuz eskura dituzue hainbat eta hainabat Erabilgarriak izatea espero dut, hau da: gelan erabil ditzazuen !!
BURUA LANEAN IPINIZ 11 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
Otra fuente muy rica en ideas para esas “situaciones-problema” son los ítem liberados (o empleados, esto va por C.A.) de las diferentes evaluaciones de diagnóstico. Pinchando en la imagen inferior accederéis a un buen número de ellos Espero que os sean de utilidad, que empleéis muchos en clase, vaya.
Utilizaré una parodia para mostrar que el aprendizaje de la utilización de las calculadoras puede mejorar el conocimiento matemático de los alumnos aunque el profesor no esté presente. Claro está que dependemos de las buenas intenciones del alumno, quiero decir que el hacer trampa siempre es sencillo, pero esa es la cuestión. Existiendo siempre el peligro, enseñémosle cómo puede afianzar sus conocimientos poniéndose, y sobre todo, corrigiéndose todos los ejercicios que el quiera hacer hasta comprobar que domina el tema. Mostrémosle cómo con una sencilla herramienta como la CASIO CLASSWIZ la ayuda que puede obtener es enorme. Es casi como tener al profesor al lado, de manera que el alumno se convierte en un individuo semi-independiente. Todo esto gracias a las nuevas posibilidades que brindan estas joyas tecnológicas. En este caso la opción verificar del menú, o permítaseme la broma del título, una posibilidad para very flipar. Ya sé que entramos en el resbaladizo terreno de si la calculadora es apropiada o no a la hora de aprender a realizar operaciones ( si estás leyendo esto, creo que te tengo medio ganado para el bando de los que creemos que utilizándola con sensatez, no solo no es mala, sino que incluso me atrevería a decir que es buenííííísima ;-) Ya sé que solo algunos alumnos harán luego una utilización parecida a la que aquí os quiero mostrar. Y que habrá otros que hagan un uso totalmente contrario de estas posibilidades, pero quiero creer que nadie estamos a favor de que se ilegalicen las motosierras por que existen personajes como el caso de Jason de Viernes 13. Yo creo que nuestra labor como profesor debería ser mostrarles estas posibilidades y que comprueben que pueden ser utilizadas en su propio beneficio, cómo estas posibilidades que ahora nos brindan desde CASIO incorporándolas a las calculadoras CLASSWIZ pueden ayudarnos mucho, en muchas ocasiones y en muchísimos sitios. Incluso fuera del aula 8-D je je je. Sin más rollos os dejo con la teatralizaron del alumno, el ejercicio y el menú verificar. Espero que lo disfrutéis.
IKASGELAKO ESPERIENTZIAK 1 EXPERIENCIAS DE AULA
Very flipar! ;-) A falta de profesor, buenas son CASIO Goyo Lekuona Matematika irakaslea
IKASGELAKO ESPERIENTZIAK EXPERIENCIAS DE AULA
El artículo está basado en una experiencia de clase que nos surgió tras plantearles para casa el siguiente ejercicio sacado del libro de Santillana de 1º de la E.S.O. Pongámonos en el papel de un alumno al que el malvado profesor le ha puesto como tarea para casa resolver el siguiente ejercicio: "Haced el apartado "g" del ejercicio 89 del libro"
Y a nuestro querido alumno, que está solo y desamparado en casa, le ha dado como respuesta 409/255. Orgulloso tras acabar el ejercicio, echa mano de la comprobadora y, horror, nuestra amiga CASIO le dice que la respuesta es:
Ejercicio sacado del libro de Santillana de 1 de la E.S.O..
¿Que ha ocurrido? Algo ha hecho mal, ¿pero, el qué?
IKASGELAKO ESPERIENTZIAK 2 EXPERIENCIAS DE AULA
Lo que se vería en el cuaderno de cualquier alumno o alumna sería parecido a esto:
IKASGELAKO ESPERIENTZIAK 3 EXPERIENCIAS DE AULA
Por suerte, nuestra amiga la comprobadora CASIO FX-82 SP X dispone de la función Verificar, que nos viene de perlas para situaciones de este pelaje ( cuando nuestro héroe está solo en casa, y no hay nadie que le pueda echar una mano para encontrar el error en su proceso). Con su ejercicio hecho en el cuaderno en una mano, y la CASIO en la otra, se decide a repasar todo el proceso a fin de identificar el paso erróneo. Para ello, tras comprobar que el resultado de la diabólica operación es 1873/560 ( qué desastre, no tenemos ni el reintegro ) entra en el menú verificar de nuestra arma secreta w4 ¡ y entramos en harina! Escribimos la operación que nos han puesto y a continuación el símbolo de igual (conseguido en el menú que se despliega al pulsar la tecla OPTNT 1) y el resultado que hemos puesto en nuestro cuaderno tras el primer paso ( Siempre nos dice el profe que simplifiquemos si es posible )
IKASGELAKO ESPERIENTZIAK 4 EXPERIENCIAS DE AULA
Esto es, en la calculadora:
y al pulsar la tecla igual = la comprobadora nos indica que el paso dado es... correcto :-) (en la imagen se lee "Egia" que es lo mismo en euskera)
Ahora solo hay que volver a pulsar el botón de igual = y avanzar un paso más en nuestro desarrollo. ¿Qué es lo siguiente que habíamos hecho?, ah si, trabajar el paréntesis. Para restar dos fracciones deben tener el mismo denominador, y en este caso he decidido ponerles denominador 28.
Tras el signo de igual escribimos simplificada la fracción 2/6 que creemos que es 1/3
Pulsamos = para ver que nos indica la comprobadora:
IKASGELAKO ESPERIENTZIAK 5 EXPERIENCIAS DE AULA
Bien, bien, de momento no hemos cometido ninguna equivocación. Ahora que tienen el mismo denominador, creo recordar que era restar los numeradores y mantener el denominador, ah, y entonces los paréntesis están de sobra ( qué nervios, dos pasos en uno).
Sí, son muy fáciles:
Pues parece que vamos bien Pulsamos = y efectuamos las multiplicaciones indicadas en los numeradores ¿Estarán bien hechas?
Y al pulsar =
IKASGELAKO ESPERIENTZIAK 6 EXPERIENCIAS DE AULA
Parece que seguimos por la senda correcta. Pulsamos nuevamente la tecla de igual y la comprobadora ya está esperando el nuevo paso del cuaderno Este paso es fácil, ¡solo hemos hecho una resta!
Pulsamos el igual, y escribimos el siguiente paso del cuaderno:
¿Que nos dirá ahora nuestro profesor particular, CLASSWIZ?
Recuerda: Egia = Verdad = CORRECTO
Nuevo acierto. Nuevamente pulsamos la tecla igual y la calculadora nos presenta el último término comprobado, con el signo igual y ya está lista para que introduzcamos el nuevo término a comprobar. ¿Qué teníamos hecho en el nuevo paso? Ah, si, la prioridad entre operaciones nos indica que debemos realizar la operación multiplicando los denominadores y los
¡ Aquí está el fallo !. ¡ Qué horror, he puesto las operaciones al revés !
De manera que ahora lo corrijo en el cuaderno y acabo la comprobación:
IKASGELAKO ESPERIENTZIAK 7 EXPERIENCIAS DE AULA
No me lo explico, ¡si tengo todos los pasos bien!
¡ Esto ya es otra cosa !
Ahora simplifico 153/336
numeradores, vamos creo , yo
Pulsamos = y escribimos el nuevo término con las multiplicaciones efectuadas para su comprobación. Y ahora la división de fracciones que se hace multiplicando en cruz. Veamos que dice: ¡vaya, lo encontré! (Gezurra = Falso)
Y ahora que dirá?
Y para hacer la resta los vuelvo a poner con igual denominador... ... efectúo las operaciones pertinentes Y la solución es:
IKASGELAKO ESPERIENTZIAK 8 EXPERIENCIAS DE AULA
Ahora ya tengo el ejercicio corregido. He encontrado el fallo que había cometido y eso estando solo, bueno, solo no, con mi CLASSWIZ ;-)
Jarri zaitez momentu batez 1. mailako ikasle baten lekuan. Etxeko lan bezala testu liburuko ariketa bat ipini dizute (Santillana argitaletxeko liburu batetik hartu dut adibidea, 82. orrialdeko "g" ariketa, hain zuzen). Mutila etxean dago, irakaslerik gabe eta zalantzaz beteta. Baina baldin badaki CASIO CLASSWIZ bezalako tresna sinplea erabiltzen, bera bakarrik izango da kapaza bere akatsez konturatzeko, jakiteko zergatik eta nom sartu duen hanka eta horri esker ikasteko handik aurrera ondo egiten. Ez dago txarto.
Egiaztatu, ez ahaztu ! ;-) Irakaslearen faltan, ondo dator CASIO Goyo Lekuona Matematika irakaslea
Gure ikaslea egiten jarri da eta hau lortu du: 409/255. Harro, irakasleak esanda dion moduan kalkulagailua hartzen du egiaztatzeko eta...ai ama...txarto dago !!!
Edozein ikasle baten koadernoan horrelako bat ikuiko genuke une honetan:
Ze arraio joan da gaizki?, Non dago hanka sartzea?
Hau da, kalkulagailuan:
Berdinaren ikurraren atzean 2/6 zatikia era laburtuan idazten dugu, antza 1/3
= tekla sakatzerakoan konprobatzaileak esaten digu hurratsa dela... zuzena :-)
Egon lasai, ikasle ! Zorionez, gure lagunak CASIO FX-82 SP X konprobagailua du. Egiaztatu aukera primeran datorkigu kasu hauetarako (gure heroia etxean bakarrik da, eta ez du akatsa aurkitzen esku bat botako dion inor). Bere ariketa koadernoan eginda esku batean duela, eta bestean CASIO konprobagailuarekin, prozesu osoa zuzentzeko prest dago, pauso okerra identifikatu ahal izateko. Horretarako bere arma sekretuan w4 sakatu eta bagoaz... Esan diguten eragiketa idazten dugu eta jarraian berdintza ikurra ( OPTNT 1 teklan klik egitean zabaltzen zaigun menutik lortua) eta lehenengo urratsa eta gero gure koadernoan ipini dugun emaitza ( Irakasleak esaten digu beti, posiblea bada, laburtzeko)
Ondo goazela ematen du... = sakatzen dugu eta zenbakitazileen biderketak egiten ditugu... Ondo eginda izango dira?
Kalkulagailuan:
= sakatzen dugu berriro egiaztatzaileak zer esaten digun ikusteko indica la comprobadora:
BURUA LANEAN IPINIZ 12 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
Orain berriro = botoia sakatu behar dugu eta gure garapenean beste urrats bat eman. Bi zatikien arteko kenketa egin ahal izateko izendatzaile berbera izan behar dute. Kau honeta 28 ipintzea erabaki dut:
Bai, oso errazak dira:
Berdintza sakatzen dugu eta koadernoko hurrengo urratsa idazten dugu:
Asmatu dugu berriro !! Kalkulagailuak egiaztatu dugun azken adierazpema eeskeintzen digu:
Zer esango digu orain gure irakasle partikularrak, CLASSWIZ-ek?
eta = sakatzean:
Bide zuzenetik jarraitzen dugula ematen du .Berdintzaren tekla sakatuko dugu berriro eta egiaztatzailea badago zain ea zein den koadernoko hurrengo urratsa: Este paso es fácil, ¡solo hemos hecho una resta!
Ondo, oraindik ez dugu hanka sartzerik izan. Orain, behin izendatzaile berbera izanda, oker ez banago, izendatzaileen kenketa egin behar dut... ah, eta orduan parentesiak soberan daude...( bai nerbioak, bai urrats batean !!).
BURUA LANEAN IPINIZ 13 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
Beraz, orain koadernoan zuzentzen dut eta egiaztaketa amaituko dut :
BURUA LANEAN IPINIZ 14 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
= sakatzen dugu eta bere egiaztaketarako eginiko biderketak dituen atal berria idazten dugu: Eta orain gurutzean egiten den zatikien arteko zatiketa. Ea zer dioen ?: Eureka, aurkitu dut !
Hemen da akatsa ! Zelakoa, eragiketak aldrebes ipini ditut !
Hau beste gauza bat da !
Eta orain zer esango du?
Orain 153/336 laburtzen dut
Ezin dut ulertu, urrats guztiak eman baditut ondo ba !
Zer eginda genuen hurrengo pausoan? Ah, bai, eragiketen jerarkiak dioenez hurrengo pausoa zatikien arteko biderketa beahar du. Zenbakitzaile bider zenbakitzaile, zati izendatzaile bider izendatzaile, hau da, zuzenean biderkatu, Bai, ez?
Kenketa egiteko berriro izendatzaile berberarekin jarriko ditut... ... behar bezalako eragiketak egiten ditut eta emaitza da:
Orain badaukat eragiketa zuzenduta. Egindako hanka sartzea topatu dut eta nik bakarrik egin dut... beno, bakarrik ez: nire CLASSWIZ en laguntzarekin ;-)
BURUA LANEAN IPINIZ 15 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA
GEOGEBRAREN TXOKOA EL RINCÓN DE GEOGEBRA
Modelización con Geogebra: La medida del área de las superficies planas Fernando Fouz Asesor de Matemáticas
GEOGEBRAREN TXOKOA 1 EL RINCÓN DE GEOGEBRA
La incorporación de los software dinámicos, Geogebra en especial, a la enseñanza de las matemáticas ha aportado una serie de ayudas que nos están facilitando su didáctica. Podemos señalar las más importantes: Somos capaces de desarrollar prácticamente el 100% del currículo matemático con este asistente matemático. Nos permite pasar de una “foto fija” en muchos contenidos a una “película de ellos”. Ya no tenemos que decir: “imaginaros que este punto se moviera…”, lo movemos y vemos lo que sucede. En Geometría, donde tuvo su origen, con las figuras podemos dibujar, modificar, hacer cálculos, realizar movimientos, etc La posibilidad de generar números y analizarlos. ………… ................. Y podemos añadir muchas más situaciones pero, sobre todo, podemos construir nuestra didáctica de otra manera y, será sin duda, el proceso que creo que va a guiar en trabajo en clase en los próximos años. Estoy hablando del proceso de: MODELIZACIÓN Y SIMULACIÓN Llegado a este punto, alguien estará pensando: ¡Ah!, ¿pero laResolución de Problemas ya no sirve? La respuesta es que sí, pues sigue siendo el punto de partida, planteamiento, resolución y análisis, sin embargo esa situación problema, en muchos casos, la vamos a poder plantear, resolver y analizar mediante la modelización y simulación que, y esto es importante, nos puede servir tanto en el desarrollo del currículo ”de siempre” en la clase como en la resolución de problemas. Este proceso de Modelización-Simulación no es invento de hace unos días pues es el trabajo que siempre se ha hecho en Física, Ingeniería, Arquitectura (p.e. ensayar modelos para el cálculo de estructuras) y en otras áreas de la Ciencia y la Técnica.
GEOGEBRAREN TXOKOA 2 EL RINCÓN DE GEOGEBRA
“Modelling and Applications in Mathematics Education”. The 14th ICMI Study
1ª Actividad con Geogebra:
Su importancia hace años que la mostró el ICMI (International Comission on Mathematical Instruction), aquí os recuerdo que en última década del siglo pasado la presidió el profesor Miguel de Guzmán, en un libro/estudio que se titulaba: Editado por cuatro matemáticos, entre ellos Mogens Niss, hoy en día muy nombrado por sus trabajos sobre “evaluación matemática”, pues fue uno de los encargados del primer proyecto PISA. Mediante la modelización, y posterior simulación podemos confirmar hipótesis, de manera que casi podríamos conseguir hacer demostraciones. No en el rigor de una verdadera demostración formal pero, sin duda y cara a nuestro alumnado, podemos mostrar grandes atisbos de validez de lo propuesto. Esto es sin duda un gran avance pues, no lo olvidemos, nuestros/as alumnos/as, llegan a la universidad con un bagaje casi nulo en el aprendizaje de demostraciones formales,... Pitágoras… ¡y poco más! No me voy a extender más en esta introducción y voy a pasar a presentar dos actividades con Geogebra. La primera nos puede servir ya desde Primaria. Mediante una construcción con Geogebra vamos tratar de ver cómo entender la medida de superficies planas a partir del cuadrado de superficie unidad. Se trataría de modelizar lo mismo que se hace para medir segmentos desde una unidad de longitud. Los cálculos los vamos hacer con números enteros para el lado del cuadrado. En una segunda construcción, repetiremos el proceso pero con valores no enteros pero con solo una cifra decimal. De esta manera se puede entender mejor la generalización posterior para cualquier otro valor decimal. La segunda actividad es resolver un problema de Geometría y, luego, utilizar una construcción de Geogebra para modelizar el problema y “COMPROBAR” la validez del resultado y otras consideraciones. Esta modelización no es mía ya que su autor es nuestro amigo Rafa Losada, a quien le gusta que le mandes problemas para resolver y, luego, te lo devuelve hecho con Geogebra.
GEOGEBRAREN TXOKOA 3 EL RINCÓN DE GEOGEBRA
Hay un deslizador “p” cuyo valor se corresponde con el lado del cuadrado, por tanto, a medida que aumenta, también lo hace el lado del cuadrado. Están los textos dinámicos y, lógicamente, el cuadrado que podemos aumentar o reducir en tamaño. La construcción de los cuadrados internos se hace utilizando dos veces el comando Secuencia( <Expresión>,<Variable>,<Valor inicial>,<Valor final> ), una vez para los segmentos horizontales y, otra, para los verticales. De esa manera utilizamos dentro de él, como término Expresión, el comando Segmento.
En esta imagen, exportada desde la construcción de GG, podemos explicar lo que hay:
2ª Actividad con Geogebra:
Construimos un dibujo de la situación:
La explicación es la misma que antes, añadiendo que ahora, los valores de los lados sucesivos del cuadrado, contienen una cifra decimal. Lo que antes justificábamos para el cuadrado grande nos sirve ahora para el pequeño. En resumen el proceso ha sido el siguiente: modelizar la situación (cuadrado dinámico, deslizador, textos dinámicos) y, a partir de ella y mediante geometría dinámica, ver otras situaciones semejantes y cómo se generan, lo que nos va a permitir comprender el concepto de medida del área de una superficie plana.
GEOGEBRAREN TXOKOA 4 EL RINCÓN DE GEOGEBRA
Enunciado: Imaginemos un lago circular (Nota: ¡existen! https://www.youtube.com/watch?v=timTTX9HSHE ) en el que hay cuatro embarcaderos, en orden A, B, C y D. De A y B parten, con velocidades distintas, dos barcos hacia C y D respectivamente, es decir sus trayectorias se cruzan. Se nos pide demostrar que si se cruzan en un mismo punto (es cierto que esta situación es ideal pues entendemos que nos se chocan llegando a la vez al mismo punto), entonces, si saliesen a la vez y con las mismas velocidades que en el anterior caso, pero cambiando los embarcaderos de llegada (A iría a D y B iría a C), llegarían al mismo tiempo a esos embarcaderos.
Esta segunda actividad es una ampliación de la anterior pero, en este caso, dividiendo el cuadrado unidad en cien pequeños cuadrado de lado 0’1 unidades.. La siguiente imagen de la ventana gráfica lo muestra:
3ª Actividad con Geogebra:
GEOGEBRAREN TXOKOA 5 EL RINCÓN DE GEOGEBRA
o bien
Ahora la modelización con GG (repito trabajo de Rafa Losada).
por tanto, comparando con
En color fucsia es la primera parte del problema y, en azul, la segunda. Los ángulos DAC y DBC son iguales, ya que son inscritos y abarcan el mismo arco y, lo mismo, ocurre con ADB y ACB. Los otros ángulos con vértice en P, también son iguales por ser opuestos por el vértice. Por tanto, los triángulos APD y BPC son semejantes, es decir, sus lados homólogos son proporcionales. Vamos a suponer que y son las respectivas velocidades de los barcos, como el tiempo de llegada es el mismo, podemos escribir:
Por otro lado, por la semejanza de triángulos tenemos:
en donde, al intercambiar términos obtenemos:
es decir, el tiempo de recorrido es el mismo por lo que llegan a la vez al intercambiar los embarcaderos de llegada.
Una vez resuelto el problema con la modelización podemos responder a una pregunta fundamental que es: ¿La solución del problema es independiente de las posiciones de los embarcaderos? Es cuando pasamos al proceso de simulación llevando los puntos A, B, C, y D, a diversas posiciones lógicamente sin intercambiar su orden sobre la circunferencia, comprobando como los dos puntos (¿barcos?) llegan a la vez. Estos ejemplos han sido dos sencillas situaciones problema, una teórica y otra de un problema concreto, que desde la creación de un modelo de la situación, nos permite poder hacer muchas cosas: entender mejor la situación, analizar nuevas situaciones, comprobar hipótesis, etc
GEOGEBRAREN TXOKOA 6 EL RINCÓN DE GEOGEBRA
Los Elementos de Euclides y su importancia en la Historia de las Matemáticas. Santiago Fernández Asesor de matemáticas del Berritzegune Nagusia A lo largo de los siglos, el pensamiento matemático, ha construido un buen número de “catedrales”. Las hay clásicas, barrocas, renacentistas conceptuales,... todas ellas son obras majestuosas y singulares. Hace más de dos milenios se “construyó” una de las más imponentes: la famosa obra de Euclides “Los Elementos”. No es exagerado decir que ese texto ha influido sobre el rumbo de las matematicas más que ningún otro escrito matemático. Su importancia histórica viene definida por el profundo impacto que ha tenido sobre el pensamiento científico, y no sólo en el ámbito matemático. Ha sido un tratado analizado, comentado y editado hasta la saciedad; ha servido como modelo para otros autores por su economía y la brillante claridad que preside el tránsito desde las nociones comunes y postulados hacia los teoremas. Durante siglos ha sido el paradigma a imitar: por la presentación de pruebas directas e indirectas, por el empleo de razonamientos básicos, por las conclusiones tan sutiles, por la belleza de sus demostraciones. En definitiva, ha servido como prototipo ideal del método de exposición hipotético-deductivo. La influencia de ”los Elementos” en el periodo helénico ulterior fue tan profunda que la mayoría de los científicos posteriores se sintieron, de una forma o de otra, deudores de su obra, entre ellos destacamos a : Arquímedes en la matemática, Ptolomeo en la astronomía, Galeno en la Medicina,… pero su modelo traspasó las fronteras helénicas y sirvió de base para científicos posteriores como Galileo en la fisica, Spinoza en la filosofía o Hobbes en la teoría política. La fascinación intelectual que produjo “Los Elementos” los ha elevado al rango de modelo del discurso de la razón. El filósofo francés R. Descartes, en la segunda parte de su “Discurso del Metodo” escribe al respecto:
“Esas largas cadenas de trabadas razones muy simples y faciles, que los geometras acostumbran a emplear para llegar a sus más difíciles demostraciones, me habían dado ocasión para imaginar que todas las cosas que entran en la esfera del conocimiento humano se encadenan de la misma manera”.
HISTORIARI SO 1 MIRANDO A LA HISTORIA
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Se sabe poco de la vida de éste genial matemático griego. Probablemente estudió en Atenas con discípulos de Platón, posteriormente enseñó geometría en Alejandría y durante más de 20 años, ejerció la labor docente y científica. Se le atribuyen una serie de libros: "Los Cálculos" (una colección de teoremas geométricos), " LosFenómenos" (una descripción del firmamento), "La Óptica", "La Divisióndel canon" (un estudio matemático de la música), "Porismas", "La sección cónica", "Libro de Falacias",... y el más importante “LosElementos “. Sin embargo , en la actualidad, la mayoría de los historiadores cree que alguna de las obras, excepto losElementos, se le han adjudicado a Euclides erróneamente, del mismo modo, cuestionan la originalidad de algunas de sus aportaciones, en particular las secciones geométricas de los Elementos, que ya fueron planteadas por matemáticos anteriores, como Eudoxo; sin embargo, es muy posible que sí hiciera diversos descubrimientos en la teoría de números
El valor de “Los Elementos” radica fundamentalmente en la recopilación y sistematización que Euclides de Alejandría hizo de gran parte de la matemática de su época; es lo que se conoce con el nombre de método axiomático. 1.-Euclides de Alejandría (300 a.C.), Si Arquimedes es el gran genio griego, Euclides es el arquitecto capaz de estructurar y ordenar la mayoría de los conocimientos matemáticos griegos en un entramado consistente, organizado y mediante una concatenación lógica de resultados. Sus trabajos representan el paradigma sistematizador del conocimiento matemático. La atracción y seducción de su modelo (el euclidiano) reside en que a partir de nociones elementales como punto, recta, círculo, y sólo cinco postulados que vinculan de manera casi obvia estas nociones, puede construirse proposición a proposición toda la geometría clásica, es decir, la totalidad de la geometría que conocía la humanidad hasta no hace mucho tiempo y que Kant creyó la única posible: la que se corresponde con la forma en que vemos al mundo y sirve a los carpinteros, cartógrafos, arquitectos , agrimensores y para todos los usos diarios. Es posible que Euclides no fuese un creador (en el amplio sentido de la palabra), título que sí merecieron otros filósofos griegos: Arquímedes, Apolonio, Eudoxo, Diofanto,... Sin embrago, su trabajo tiene el inmenso mérito de reunir, ordenar y sistematizar la mayoría del conocimiento griego bajo un mismo lenguaje , estableciendo un férreo paradigma de exposición y de demostración en Matemáticas. Fue capaz de poner orden en “la selva matemática”.
2.-LosElementos Los Elementos es un tratado matemático , que corona una tradicción de tratados elementales sobre diversas partes de la matemática, hoy desaparecidos. Se componede 13 libros: Los seis primeros son sobre la Geometría Plana Los libros 7 ,8 y 9 tratan sobrela Teoría elemental de números El libro 10 presenta la teoría de Eudoxo sobre los números irracionales; el matemático flamenco S.Stevin bautizó a este libro como “la croix des mathematiciens”, por la dificultad que entrañaba su lectura . Los libros 11,12 y13 los dedica al estudio de la geometría del espacio.
Retrato de Euclides
HISTORIARI SO 3 MIRANDO A LA HISTORIA
En un primer acercamiento, se puede decir que: Los Elementos de Euclides son notables por la claridad con que las proposiciones son demostradas y presentadas. A este respecto escribió Proclo:
y más adelante expresa :
HISTORIARI SO 4 MIRANDO A LA HISTORIA
3. Contenido de “LosElementos”
«Son singularmente admirables sus Elementos de Geometría (de Euclides) por el orden que reina en ellos, la selección de los teoremas y problemas tomados como elementos y también la variedad de los razonamientos desarrollados de todas las maneras y que conducen a la convicción»
«Los Elementos son una guía segura y completa para la consideración científica de los objetos geométricos».
Libro I Teoremas relativos a triángulos, rectas paralelas y perpendiculares, congruencias, etc.. 23 definiciones; 5 postulados; 9 nociones comunes; 48 proposiciones (las p.47 y 48 son el teorema de Pitágoras) Libro II Transformaciones de áreas y álgebra geométrica de la Escuela Pitagórica. 2 definiciones; 14 proposiciones. Libro III Círculos, cuerdas, tangencias. 11 definiciones; 37 proposiciones. Libro IV Construcciones con regla y compás de polígonos regulares,.. 7 definiciones; 16 proposiciones. Libro V Teoría de la proporción según Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.), 18 definiciones; 25 proposiciones. Libro VI Estudio de figuras semejantes, además contiene una generalización del Teorema de Pitágoras, 4 definiciones; 33 proposiciones. Libro VII T eoría de números; 22 definiciones; 39 proposiciones. (la primera es el algoritmo de Euclides). Libro VIII Teoría de números; 27 proposiciones. Libro IX Teoría de números; 36 proposiciones; (p.XX"el conjunto de números primos son más que cualquier multitud de números primos fijada”), Libro X, es un análisis detallado de varias longitudes irracionales.; 115 proposiciones, 16 definiciones Libro XI Geometría de sólidos y esfera; 39 proposiciones. (Se utiliza el método de exhaución de Eudoxo). 28 definiciones. Libro XII Geometría de sólidos, esfera; 18 proposiciones. Libro XIII Geometría de sólidos, sólidos platónicos...; 18 proposiciones.
Opus elementorum euclidis ... Venecia 1482. Página inicial de la primera edición deLos Elementos debida al impresor Erhard Ratdolt.
Manuscrito griego, correspondiente a los Elementos, del siglo XI-XII. (Al final del texto se puede observar el famoso símbolo pitagórico , correspondiente al polígono estrellado de cinco puntas)
Buena parte de Los Elementos de Euclides se han utilizado como libro de texto en la mayoría de las escuelas durante más de 2000 años. La primera edición impresa de las obras de Euclides apareció en Venecia en 1482, fue una traducción del árabe al latín.
HISTORIARI SO 5 MIRANDO A LA HISTORIA
La primera versión de los seis primeros libros de los Elementos,al castellano, se realizó en Sevilla en 1576
Bertrand Russel también manisfestaba su admiración:
La obra de Euclides es majestuosa. AlbertEinstein escribe de ella:
Otros autores quedan eclipsados por el valor de “Los Elementos”. El historiador O. Neugebauer ecribía al respecto:
«Es maravilloso que un hombre sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza haciendo uso exclusivo de su pensamiento»,
Edición princeps de Los Elementosde Euclides(1533)
HISTORIARI SO 6 MIRANDO A LA HISTORIA
“Los Elementos de Euclides reducen a todos sus predecesores a objetos de mero interés histórico”
“la lectura de Euclides a los 11 años fue uno de los grandes acontecimientos de mi vida, tan deslumbrante como el primer amor“.
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Las verdades o nociones comunes consideradas como universales, y no referentes a los objetos básicos geométricos, sino tautologías por sí mismas.
4- Estructura de "Los Elementos" “Los Elementos”están escritos en un lenguaje sintético. Euclides ordena las diversas proposiciones de manera que cada resultado se apoya en los anteriores. Asi poco a poco va construyendo un majestuoso edificio, apoyado en sólidos pilares. Para realizar este fabuloso tratado, Euclides, asume una serie de propiedades que han de admitirse sin demostración para ir deduciendo a partir de ellas, sin otro recurso que la lógica, todo el conjunto de proposiciones. Estas propiedades son las que él llamará axiomas, nociones comunes y postulados. Así, al comienzo de la mayoríade los libros que componen los Elementos, presenta una definiciones y unas nociones comunes ( o axiomas) relativas a los temas desarrollados, y además en el Libro I expone sus famosos cinco postulados en los que basa su construcción axiomática. Con estos elementos básicos y la argamasa de la lógica, Euclides va construyendo, una tras otra, las proposiciones que van acumulandose a lo largo del tratado. Las definiciones básicas que se proponen en el primero de los libros son 23, redactadas de la manera siguiente: Un punto es aquello que no tiene partes. Una línea es la longitud sin anchura. Las fronteras ( los extremos) de una línea son puntos. La recta es aquella línea que se halla igualmente dispuesta con respecto a todos sus puntos. La superficie es lo que posee únicamente longitud y anchura. Las fronteras de una superficie son líneas. ............... 15. Círculo es una figura plana limitada por una sola línea que se llama periferia , respecto a la cual son iguales las rectas que inciden sobre ella trazadas desde uno de los puntos situados en el interior de la figura. 16. Ese punto interior se llama centro del círculo. ......... 23. Rectas paralelas son las que, estando en un mismo plano y prolongadas al infinito , no se encuentran.
Es de señalar que la edición crítica del filólogo e historiador danés J. L.Heiberg, recoge únicamente cinco nociones comunes, que son las resaltadas en la lista anterior. Las nociones comunes, aquí expuestas, nos hablan de la igualdad, desigualdad, suma, resta, duplicación, y de la división en dos partes iguales de magnitudes. Conviene señalar que la septima noción común hace referencia al movimiento, pero que este concepto, como otros muchos, no se hace explicito en el tratado de Euclides. Las afirmaciones o postulados relativas a los objetos básicos. Son las verdades iniciales del sistema. Los postulados permiten efectuar ciertas construcciones geométricas: unir puntos mediante líneas rectas , trazar círculos,etc. En el primero de los libros se muestran los cinco postulados enunciados la manera siguiente: Postúlese el trazar una recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta. Y el describir cualquier círculo con cualquier centro y distancia. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos. La primera impresión que produce la lectura de los postulados es que tratan enunciados de distinto carácter. Los tres primeros hacen referencia a construcciones, el cuarto es en realidad una propiedad intrínsica de los ángulos rectos, y el quinto tiene la apariencia de una proposición que habría que demostrar. Estos postulados afirman de la existencia de puntos, rectas y circunferencias, con las que Euclides quiere construir toda su geometría.
HISTORIARI SO 8 MIRANDO A LA HISTORIA
Dos cosas iguales separadamente a una tercera son iguales entre sí. Si a cosas iguales le agregamos iguales, obtenemos iguales. Si de iguales quitamos iguales, obtenemos iguales. Si a desiguales agregamos iguales, obtenemos desiguales. Si duplicamos iguales obtenemos iguales. Las mitades de iguales son iguales entre sí. Las cosas que se pueden superponer son iguales. El todo es mayor que una parte. Dos rectas no encierran espacio.
Y puesto que el punto A es el centro del círculo es igual a AB [Def. 15]; puesto que B es a su vez el centro del círculo es igual a BA [Def. 15]; pero se ha demostrado que es igual a AB; por tanto, cada una de las (rectas) es igual a AB. Ahora las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí [N.C. 1]; por tanto, son iguales entre sí. Por consiguiente, el triángulo AB es equilátero y ha sido construido sobre una recta finita dada AB. Que es lo que había que hacer.
El majestuoso edificio se completa con las proposiciones, que se deducen a partir de los postulados iniciales , del razonamiento lógico y de otras verdades o proposiciones anteriores. Estas proposiciones constituyen los teoremas del sistema axiomático. Es muy interesante bucear en cómo Euclides va demostrando una a una las proposiciones. Veamos la primera de ellas y su correspondiente demostracion: Proposición 1 (libro I) Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada Sea AB la recta finita dada. Así pues, hay que construir sobre la recta dada un triángulo equilátero. Descríbase con el centro A y la distancia AB el círculo B [Post. 3], y con el centro B y la distancia BA descríbase a su vez el círculo A E [Post. 3],y a partir del punto donde los círculos se cortan entre sí, trácense las rectas A , B hasta los puntos A , B [Post. 1].
HISTORIARI SO 9 MIRANDO A LA HISTORIA
Si analizamos con detalle esta demostración podemos decir: Es muy elegante , se la suele presentar como el paradigma de la demostración euclidea Se va apoyando en los postulados enunciados, nociones comunes, definiciones, etc. Es de una claridad meridiana, y discurre por los pasos canónicos que Proclo, en su comentario del primer libro del tratado de Euclides, identifica como : proposición , exposición, especificación, preparación y demostración. Sin embargo, Euclides, comete un grave error cuando da por supuesto que dos círculos se cortan en un punto ( ......y a partir del punto donde los círculos se cortan entre sí). Es claramente verdad (desde un punto de visto intuitivo), pero en el tratado no aparece este asunto y por tanto habría que definirlo. 5.-“Fallas” en los Elementos En honor a la verdad se puede decir que el tratado escrito por Euclides es “casi perfecto”, pero mirado con la lupa del rigor, tal como lo entendemos en la actualidad, es claro que no resuelve satisfactoriamente el problema de demostrar en el amplio sentido del término. Efectivamente, el número de definiciones, axiomas y postulados que sirven como base para una demostración rigurosa de todas y cada una de las proposiciones que aparecen en “los Elementos” es insuficiente, unido a que varias demostraciones presentan suposiciones tácitas. Desde luego, sería muy sorprendente que el primer tratado matemático de la historia no tuviera “fallas”. Por tanto, no constituye ningún descredito para la obra que las investigaciones matemáticas hayan revelado defectos en su estructura lógica. No es este el lugar para profundizar en el tema, pero, como ya hemos mencionado, hay una serie de“fallas” lógicas, de más o menos calado. En efecto, ya en la primera proposición correspondiente al Libro I, emplea el hecho que la intersección de dos círculos sea un punto, aspecto que no está enunciado en la obra. En variadas demostraciones hace uso del concepto de movimiento, aspecto no explicitado en su obra. Además, algunas definiciones no son adecuadas como las de punto y línea, y lo que es más curioso, jamás son utilizadas en la obra.... En el siguiente listado enumeramos las principales “fallas”:
HISTORIARI SO 10 MIRANDO A LA HISTORIA
HISTORIARI SO 11 MIRANDO A LA HISTORIA
A) Muchos de los términos que figuran en las definiciones no están a su vez definidos, tal es el caso de “frontera”, “ancho”, ”longitud”, “inclinación" y algunos más B) Varias de las 23 definiciones que aparecen en el primer libro ( Pasa lo mismo con los otros 12 libros) no son utilizadas en las demostraciones, por tanto se podría reducir ese número sin que ello afectara al planteamiento general de la obra. C) En la mayoría de las demostraciones se utiliza la intuición geométrica reforzada con la figura consiguiente. Por ejemplo, se supone que dos circunferencias (no tangentes) se cortan en dos puntos; que una recta que pasa por un punto interior al círculo y otro exterior al mismo corta a la circunferencia en un punto que está entre los puntos anteriores. D) En la demostración de algunas proposiciones se utilizan implicitamente postulados y axiomas que previamente no han sido definidos , se puede decir a éste respecto que la lista de los axiomas y postulados es demasiado pobre ( insuficiente). E) Uno de las “fallas” más sustanciales , y que aparece en varias demostraciones de diversas proposiciones , es el concepto de movimiento. No está definido explicitamente y sin embargo es constantemente utilizado. De hecho, en la primera proposición del primer libro , el concepto de movimiento ya es empleado. Cabe observar que, según el significado del axioma VII , la igualdad de magnitudes y figuras geométricas también se define mediante movimientos. F) Se echan de menos unas reglas de inferencia lógica. Hay que tener presente que el empleo de la lógica con sus reglas se consideraba, en tiempos de Euclides, más bien como un producto espontáneo de la matemática y no como un requisito para ella. G) Conviene notar que la distinción , que hace Euclides, entre nociones comunes y postulados no es clara. Por ejemplo, la cuarta definición del quinto libro es equivalente al llamado “Postulado de Arquímedes”. H) Aún siendo admirable el tipo de argumentación y razonamiento empleada por Euclides se pueden encontrar variados y significativos errores en las demostraciones de algunas proposiciones.
Como conclusión se puede afirmar que la obra de Euclides no resuelve satisfactoriamente el problema de fundamentar la geometría, entendida como una enumeración de un número suficiente de definiciones , axiomas y postulados que sirvan de base para una demostración rigurosa de todos y cada uno de los teoremas que aparecen. Para poder corregir estas fallas lógicas tuvieron que pasar más de dos mil años, sintiéndose la necesidad de un tratamiento postulacional verdaderamente satisfactorio, pero esto será objeto del último capítulo. Algunas de estas dificultades ya fueron observadas por científicos de la antigüedad . El genial Arquímedes amplió la lista de los postulados geométricos , tratando de dar más consistencia al edificio geométrico construido por Euclides ; en particular completó los aspectos relacionados con la medición de longitudes, áreas y volúmenes. Con el objetivo de fundamentar mejor la geometría métrica , Arquímedes , introdujo cinco postulados más , el primero de ellos dice lo siguiente:
En resumen podemos decir que el rigor de la lógica de Euclides se basa , en muchos casos , en intuiciones , adquiridas por el hábito de nuestras representaciones espaciales.
I) Es de señalar también el uso que hace del infinito. La presencia del infinito es clara en“los Elementos”, aunque ese concepto no aparezca de manera explícita. Así por ejemplo , en la definición 23, establece que son líneas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente por ambos lados no se encuentran en ningún punto. El segundo postulado establece que una recta puede prolongarse indefinidamente en línea recta; hay proposiciones como la referente a los números primos (20 del libro IX) en la que establece la infinitud de números primos. J) Algunas definiciones no son precisas. Así, por ejemplo, la definición dada para una recta (La recta es aquella línea que se halla igualmente dispuesta con respecto a todos sus puntos) puede servir también para definira otras muchas figuras : una espiral, una circunferencia , una hélice, etc.. Es cierto que en esa época no existía gran preocupación por establecer definiciones precisas y rigurosas. El mismo Aristóteles decía al respecto : “Los verdaderos objetos matemáticos son sólamente sugeridos o iluminados mediante las figuras que se hacen “ K) Se pueden indicar muchas suposiciones tácitas y que vició el verdadero caracter de la obra. Por ejemplo, en la demostración de la proposición 21 del primer libro, Euclides admite que si una recta entra a un triángulo por un vértice debe, si se prolonga suficientemente, cortar al lado opuesto al vértice dado. Fue M. Pasch (1843-1930) quién reconoció la necesidad de admitir un postulado que considerara esta situación,
HISTORIARI SO 12 MIRANDO A LA HISTORIA
Método euclidiano, un modelo a imitar El libro de Euclides, a pesar de los inconvenientes que hemos señalado, se convirtió en el libro a imitar. Era el paradigma a seguir, la belleza de sus demostraciones, la claridad de sus plantemientos, el empleo de su lógica le convirtieron en el libro de matemáticas por excelencia.
Pero, el verdaderamente importante es el quinto de sus postulados:
Esta afirmación se la conoce como el postulado de Arquímedes, y ha resultado ser de una gran importancia para la posterior construcción de la geometría. En términos más modernos se la puede expresar como sigue:
“De dos líneas desiguales , dos superficies desiguales o dos cuerpos desiguales, la mayor resultará ser menor que la magnitud que se obtiene si se repite la menor un número adecuado de veces”
HISTORIARI SO 13 MIRANDO A LA HISTORIA
6.-Controversias respecto al problema de las Paralelas
Después de Arquímedes también se continuaron los intentos por precisar y aclarar los postulados de la geometría de Euclides. Sin embargo, nadie agregó nada sustancial. El rigor de sus demostraciones se consideraba en general suficiente .
“Entre todas las líneas con extremos comunes la recta es la más corta.”
El quinto postulado es la piedra angular sobre la que descansa la grandeza de Euclides. Dice Heath al respecto:
“ Para cualesquiera A y B, números reales, tal que A < B , existe un número natural N tal que N . A > B ”
HISTORIARI SO 14 MIRANDO A LA HISTORIA
Sin embargo, esa piedra angular ha sido la causa de los más duros ataques a su sistema geométrico. Los cuatro postulados que lo preceden son enunciados sencillos y cortos. El quinto postulado es más enrevesado, su lectura nos da idea de una proposición más que de un postulado. Es posible que el mismo Euclides tuviera, inicialmente, esa misma idea. De hecho,la ordenación de sus proposiciones, así como la demostración que hace del recíproco nos hace pensar en esta posibilidad. Las situaciones derivadas al tratar de demostrar el quinto postulado, en función de los otros cuatro, dieron lugar a un gran enredo intelectual que se conoce como el Problema de las Paralelas. Todos los fracasos por demostrar el quinto postulado fueron agigantando más y más la figura de Euclides, pero también condujeron a la invención de nuevas geometrías, las llamadas geometrías no euclidianas. La historia del problema de las paralelas es larga y trasciende el objetivo de este artículo…. Esto será motivo de otra entrega. Bibliografía Euclides. Los Elementos. Edit Gredos
“Cuando se consideran los innumerables intentos realizados a través de veinte siglos para demostrar ese quinto postulado, muchos de ellos realizados por ilustres geómetras, no se puede por menos que admirar el genio del hombre que llegó a la conclusión de que tal hipótesis , necesaria para la validez de todo el sistema , es realmente indemostrable”
Lehen aldian, ikastetxeetan bertan ospatzen dena, 103 ikastetxetako 2.600 neska-mutil inguruk parte hartu zuten. Ondoko taula ikusten da partaidetza: 1 13 24 GIPUZKOA 15 19 34 BIZKAIA 17 28 45 GUZTIRA 43 60 103
Aurreko buletinean aipatu genuen bezala, EMIE 20+11 elkarteak antolatutako jarduera ezagunen eta sendotuenak “Eduardo Chillida” deituriko olinpiada matematikoa, 2. DBHko ikasleei zuzenduta, eta LHko 6. mailako ikasleentzako Arabako Olinpiada Matematikoa dira. Jarraian bakoitzari dagokion informazioa irakur dezakezue.
1. XV. Eduardo Chillida Olinpiada Matematikoa
GURE OLINPIADAK 1 NUESTRAS OLIMPIADAS
GURE OLIMPIADAK NUESTRAS OLIMPIADAS
Olimpiada Matematikoak, 2016/2017 ikasturtean Ana Fernandez de Betoño Ekialdea BHIko Matematikako irakaslea eta EMIEko presidentea
IKASTETXE PUBLIKOAK
ITUNPEKO IKASTETXEAK
GUZTIRA
ARABA
11
13
24
GIPUZKOA
15
19
34
BIZKAIA
17
28
45
43
60
103
2017ko maiatzaren 13ean, hiru hiriburuetan olinpiadaren azken aldia ospatu zen, Gasteizko Los Herrán BHI, Bilboko Miguel de Unamuno BHI eta Donostiako Usandizaga-Peñaflorida-Amara BHI egoitzak izanez. Guztira, 237 neska-mutil lehiatu ziren. Olinpiadan balorazio altuena eskuratu zuten 12 ikasleak, euren familiak eta ikastetxeetako ordezkariak lagunduta, Gasteizko Eusko Jaurlaritzaren egoitzan ekainaren 2an ospatutako sari emanaldira joateko deituak izan ziren. Aurten XV. Eduardo Chillida Matematika Olinpiadaren sariak Jesús Fernández Hezkuntzaren Ikastetxeen zuzendariak banatu zituen.
SARIDUNAK
Hamabi saridunak ,Hezkuntzako Ikastetxeen zuzendaria den Jesús Fernández eta ekitaldiaren hitzaldia eman zuen Marta Macho EHU irakaslea
IKASLEA
IKASTETXEA, HERRIA/HIRIA
Ivan Espilla Rozas
Balmaseda BHI, Balmaseda
Irene Herrero Salas
El Pilar-Cia de María HLBHIP, Irun
Jon Jimenez Zulaika
San Bizente Ikastola, Oion
Paula Rubio Crespo
Ayalde HLBHIP, Loiu
Anartz Duoandikoetxea Mencias
Sopela BHI, Sopela
Ibai Fernandez Salgado
Unamuno BHI, Vitoria-Gasteiz
Ander Ubarretxena Trueba
Usandizaga-Peñaflorida BHI, Donostia
Telmo Santamaria Zamorano
Unamuno BHI, Bilbo
Irati Anda Nuñez
Armentia Ikastola, Vitoria-Gasteiz
Yingjie Liu
Sta. Maria HLBHIP, Vitoria-Gasteiz
Peio Ibargoien Alvarez
Antigua-Luberri BHI, Donostia
Iker Cubillo Egizabal
Claret Askartza HLBHIP, Leioa
GURE OLINPIADAK 2 NUESTRAS OLIMPIADAS
Saridunak, euren irakaslea, Jesús fernandez eta Marta Macho
Guztiak euren irakasleek lagunduta izan ziren. Ordenean hauek izan ziren: Pedro Frontela, Emilio Murugarren, Txema Oquiñena, Maria Buxens, Jose Manuel Alonso, Begoña Iturrizar, Xabier Lizarraga, Ignacio Santos, Gergo Otxoa, Oscar Erauzquin, Idoia Urretabizkaia eta David Irazabal.
GURE OLINPIADAK 3 NUESTRAS OLIMPIADAS
Sariak banatu ondoren, Marta Macho irakasleak “La ecuación funciona: mujeres y ciencia” hitzaldia eskaini zigun, non lotu zituen emakumeak eta zientzia. Hitzaldian ereaipatutako karta-jolasa eskura dezakegu “Mujeres con Ciencia" blogaren sarreraren bukaeran. Ekitaldia streaming-en bota zutenez, hemen daukazue aukera berrikusteko. Saritutako hiru lehenek, Ivan, Irene eta Jon, Ekainaren 21tik 25ra, Valladoliden ospatutako XXVIII. Olinpiada Matematiko Nazionalean parte hartu zuten. Edizio horretan, Castilla-La Mancha ezagutu eta etxera oroitzapen ezin ahaztuekin bueltzatzeaz gain, Irenek banakako froga eta Jonek talde-frogaren saria jaso zuten.
Banakako frogan hauexek izan ziren aipatuak: Leonardo Costa Lesage (Comunitat Valenciana), Juan Robles Angulo (Andalucía), Guillermo Escobar López (Castilla La Mancha), Andreu Fito Castelví (Catalunya), Irene Herrero Salas (Euskadi), Sergi Ivars Galiana (Comunitat Valenciana), Nicolás López Corral (Castilla y León), Lucia Blazquez Cahué (Castilla y León), Martín Rey Ruiz (Aragón), Brais Rodriguez Rodriguez (Galicia)
Ondoko argazkian agertzen dira talde irabazlearen partaideak: Leonardo Costa Lesage (Comunitat Valenciana) Jon Jiménez Zulaica (Euskadi) David Moreno Martín (Extremadura) Javier Ortiz Martín (Melilla) Carla Simón Sanz (Comunidad de Madrid)
GURE OLINPIADAK 4 NUESTRAS OLIMPIADAS
Jadanik, 2017/18 ikasturte honetako XVI. Eduardo Chillida Olinpiadari buruzko informazioa jaso da ikastetxeetan. Lehen aldian, Ikastetxe bakoitzean 2 edo 3 ikasle hautatuko dira, epea martxoaren 23ra arte da. Bigarren aldia, ordea, hiru hiriburuetan ospatuko da,maiatzaren 12an, lehen aipatutako institutuetan. Ikasturtero bezala, helburuen gaineko informazio guztia, oinarriak, egutegia, aurreko edizioetan proposatutako problemak, etab. olinpiadaren web-orrian ikus daitezke. Aurtengo XXIX. Olinpiada Matematiko Nazionala Valencian ospatuko da, beraz, autonomia-erkidego hori ezagutzeko aukera izango dugu, matematikarekin lan egiteaz gain.
2016/17 ikasturtean, ArabakoVII. Olinpiada Matematikoa ospatu zen. Lehen aldian martxoaren 24an ikastetxeetan bertan egin zen. Fase horretan parte hartzeko 29 ikastetxek izena eman zuten. Azken aldia maiatzaren 20an burutu zen Gasteizko Los Herrán institutuan eta 27 ikastetxek parte hartu zuten. Argazkian ikusten dugu Alberto Bagazgoitia eta Eduardo Blanco harrera egiten.
Badoa aurrera Arabako olinpiada hau, gero eta arrakastatsuagoa dena. Aurreko buletinean aipatzen genuen bezala, Arabako LHko ikastetxe guztietara bidaltzen da deialdia eta, jaso bezain pronto, ikastetxeen erantzuna berehalakoa izaten da. Hori dela-eta, gure esker ona bidali nahi diegu irakasleei eta familiei, euren partaidetza eta laguntzagatik.
GURE OLINPIADAK 5 NUESTRAS OLIMPIADAS
2 . LHko 6. mailako ikasleentzako Arabako VII. Olinpiada Matematikoa
Goizean zehar,banakako eta taldeko probak egin genituen, lan-giroa gaindiezina izanik, hurrengo argazkietan ikusten den bezala:
GURE OLINPIADAK 6 NUESTRAS OLIMPIADAS
1. sailkapena Laka Calderon, Asier (San Bizente Ikastola) Palenzuela Lopez de Juan Abad, Elena (Santa María Ikastetxea) Rabanal Regaño, Unai (Vera Cruz Ikastetxea) Ruiz del Portal Pastor, Eneko (Dulantzi Ikastetxea) Uriarte Garrido, Laida (Toki Eder Ikastola)
NEWTON Chávez Cadena, Alejandro (Arantzabela Ikastola) Maialen Mauleón Díaz de Alda, Maialen (Arantzabela Ikastola) Sarasua Aldanondo, Uxue (Arantzabela Ikastola) Bengoa Ortiz de Zarate, Josu (Santa María Ikastetxea) Lopez de la Calle Gomez, Irene (Santa María Ikastetxea) Palenzuela Lopez de Juan Abad, Elena (Santa María Ikastetxea)
Goizari bukaera emateko, Blanca Guerrerok, Arabako Hezkuntza delegatuak eta Ana Fdez. de BEtoño EMIE 20+11ko presidenteak, hurrengo sariak banatu zituzten: BANAKAKO PROBAKO IRABAZLEAK (ALFABETIKOKI ORDENATUTA)
TALDE-PROBAKO IRABAZLEAK
2. sailkapena Amador Ibisate, Xabier (Olabide Ikastola) Arbildi Garcia, Jon (Barrutia Ikastola) Bardeci Delgado, Sara (Inmaculada Concepción Ikastetxea) Benéitez Baz, Jairo (Sagrado Corazón-Corazonistas Ikastetxea) Gonzalez de Langarika Garcia, Martina (Niño Jesús Ikastetxea)
ARQUIMEDES Auclair Bedoya, Andreas (Nazareth Ikastetxea) Cerrajería Ortiz de Elguea (Nazareth Ikastetxea) Portela Martin, Lucía (Nazareth Ikastetxea) Salgado Urrego, Ania (Lakuabizkarra Ikastetxea) Sarmiento Gómez, Pedro (Lakuabizkarra Ikastetxea) Unzalu Crespo, Maialen (Lakuabizkarra Ikastetxea)
SOPHIE GERMAIN Hamadi Hamadi, Kamal (Aranbizkarra Ikastola) Mateo Sicilia, June (Aranbizkarra Ikastola) Sagastuy Etxeberria, Alazne (Aranbizkarra Ikastola) Faia Reis, Adrian M. (Paula Montal Ikastetxea) Gomez Rubio, Carla (Paula Montal Ikastetxea) Jimenez Lopez, Aarón (Paula Montal Ikastetxea)
GURE OLINPIADAK 7 NUESTRAS OLIMPIADAS
EUCLIDES Gonzalez Urcola, Mireia (San Bizente Ikastola) Laka Calderon, Asier (San Bizente Ikastola) Rubio Perez, Igor (San Bizente Ikastola) Lázaro Ogara, Sergio (CEU Virgen Niña) Sanz Aranzabal, Hugo (CEU Virgen Niña) Torres, Maider (CEU Virgen Niña)
GURE OLINPIADAK 8 NUESTRAS OLIMPIADAS
Jadanik, Lehen Hezkuntzako 6. mailako Arabako VIII. Olinpiada Matematikoa martxan dago. Izena emateko epea martxoaren 2ra arte izango da eta hasierako fasea, ikastetxeetan bertan ospatzen dena, martxoaren 16an. Egun horretarako, parte hartzen duten ikastetxeek proposatutako proba jasoko dute, hiru ikasle aukeratzen lagunduko duena. Azken fasea maiatzaren 19an ospatuko da eta, aurreko edizioetan bezala, matematikarekin lan egiteaz gain, oso ondo pasatzea espero dugu. Hurrengo buletinean ikasturte honetako olinpiadei buruzko informazioa izango duzue.
LIBURUAK LIBROS
LIBURUAK 1 LIBROS
El libro consta de 82 preguntas que el coordinador planteó a varios científicos como celebración del 2º aniversario del blog . El objetivo es plenamente divulgativo y aborda temas relativos a todas las ciencias: matemáticas, física, química, biología, geología, astrofísica, neurociencias,.. Y entre los temas matemáticos podemos destacar: infinito, topología, azar, números imaginarios, números binarios,… Citaremos aquí los temas relacionados directamente con las matemáticas: 3.- “Infinito” Por Enrique Zuazua 4. “¿Qué diferencia hay entre los números ordinarios y los números binarios y cuáles son las ventajas y limitaciones de cada uno?” Por Pedro Alegría Ezquerra 5. “¿Qué son los números imaginarios? ¿Tienen alguna aplicación en la vida cotidiana?” Por Yves Huttel 6. “¿Qué es la topología?” Por Marta Macho Stadler 7. “What is randomness?¿Qué es el azar?” Por Lance Fortnow
1 CIENCIA, y además lo entiendo !!! COORDINADOR: Quintín Garrido Garrido Se puede descargar del blog activaneurona:
Los límites temporales son, en gran parte, convencionales. Para el autor, el siglo XX transcurre entre dos sucesos que centra en Sarajevo: el asesinato del heredero al trono austrohúngaro, que da origen a la Gran Guerra en 1914, y la demolición del muro de Berlín, con la inmediata guerra en los Balcanes en 1989.
2 Matemática e ideología Fundamentalismos matemáticos del siglo XX Autor: Javier de Lorenzo EDITORIAL: Plaza y Valdés ISBN: 978-84-16032-76-1
LIBURUAK 2 LIBROS
Dos cotas que marcan un siglo en el cual los fundamentalismos ideológicos, con sus dictaduras asociadas de todo tipo, alcanzan su esplendor en el mundo occidental y tienen terribles consecuencias: millones de muertos en guerras, campos de concentración y gulags, exiliados… Fundamentalismos que también se instalan en lo que se pretende un hacer objetivo y dado de una vez y para siempre: el hacer matemático. Desde los años veinte dos escuelas pretenden imponer sus fundamentos, que quieren definitivos y para siempre, en ese hacer matemático: el Intuicionismo y el Formalismo. Dogmatismo en los fundamentos que tendría sus consecuencias en el control de los medios académicos, editoriales, de enseñanza… El objetivo de este libro es analizar estos fundamentalismos a través de sus figuras matemáticas esenciales así como sus fracasos, a la vez que de otros matemáticos que también ejercieron un importante papel en los debates originados. Dichos fracasos eran obligados porque el hacer matemático es un hacer proteico, construido por los matemáticos en una praxis cambiante, dinámica, nunca cerrada o dada de una vez y para siempre
Esta obra por capítulos pretende difundir y divulgar la importancia de las matemáticas en el desarrollo de la actividad humana desde diferentes contextos y puntos de vista, señalando al mismo tiempo sus relaciones con otras disciplinas o campos de conocimiento. En particular, este libro muestra algunas conexiones de las matemáticas con la arqueología, la tecnología, la física, la geología, la criminología, la egiptología, la economía,
LIBURUAK 3 LIBROS
el deporte, la música, los sistemas electorales o internet. Además, se recogen algunos capítulos que recorren detalles de la vida y obra de ciertos matemáticos que influyeron notablemente en el desarrollo de esta disciplina. ÍNDICE: MUSIMÁTICAS THE SCOTTISH BOOK: LAS MATEMÁTICAS EN EL CAFÉ ESCOCÉS ESTUDIO MATEMÁTICO-DEPORTIVO CAMINANDO GUIADO POR LOS DÍGITOS DE π MÁS ALLÁ DE LAS MATEMÁTICAS ¿SON PROPORCIONALES LOS SISTEMAS ELECTORALES? ARQUEOESTADÍSTICA: UNA FORMA DE INTERPRETAR EL PASADO UN PASEO MATEMÁTICO POR GOOGLE NUESTRO MUNDO: TAN PEQUEÑITO Y TAN BIEN CONECTADO ECONOMÍA: NO SIN MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS EN FEMENINO ¿EN QUÉ DIMENSIÓN VIVIMOS? ¿SABE GEOMETRÍA LA NATURALEZA? LOS RELOJES DE GAUSS EL JUEGO DE ESCAPAR LAS MATEMÁTICAS DE LA GRAN PIRÁMIDE LA PROBABILIDAD A JUICIO Más información
3 El secreto de los números Editores/as: Mulero González, J.,y otros ISBN: 978-84-9717-490-9
Descubriremos que las matemáticas son hermosas, poéticas, sorprendentes, emocionantes y estimulantes. El número es fascinante. La sucesión de Fibonacci y el número áureo nos llevan por caminos inesperados. Las ecuaciones nos definen y definen cualquier pequeño rasguño del universo de una forma deliciosa.
LIBURUAK 4 LIBROS
A la mayoría nos gustan las matemáticas, el problema es que no lo sabemos. La historia de las matemáticas fue escrita por hombres y mujeres con un intelecto sorprendente, pero no se equivoquen: los verdaderos héroes de esta gran novela son las ideas. Esas pequeñas ideas que germinan un día y se propagan de un siglo a otro, y nos dicen que hay un mundo de impresionante riqueza justo delante de nuestros ojos.
4 La gran novela de las matemáticas. De la prehistoria a la actualidad Autor: Mickaël Launey Editorial PAIDOS
Convencido el rey de que la carencia de artilleros (era necesario contratar artilleros italianos para los ejércitos del imperio), y de que la profusión de errores en la confección de las cartas de navegar, se debían a una falta de formación matemática, Felipe II decidió instituir una Academia de Matemáticas en Madrid. También Felipe II y su arquitecto Juan de Herrera quisieron que la Biblioteca del Monasterio de El Escorial fuera un auténtico culto a la Matemática, prueba de ello es que en su amplia bóveda está representado todo el saber del momento.
5 Felipe II. Protector de las matemáticas Autores: María Concepción Romo y Alejandro Martín Romo Editorial: PUNTO TOJO LIBROS ISBN: 9788416877652
Este libro propone una serie de adivinanzas y problemas recreativos, enmarcados en el reinado de Felipe II, el rey prudente, defensor e impulsor de las Matemáticas. Durante su reinado, y en lo concerniente a la ciencia, fue un personaje abierto a todo el saber científico y un gran protector del estudio de las Matemáticas.
Dirigido al colectivo de aficionados a los pasatiempos y curiosidades matemáticos, en este libro Robin Jamet presenta de manera moderna y original algunos temas relacionados con el entorno y la vida cotidiana." Las matemáticas ocultas" presenta un conjunto escogido de curiosidades unidas por el rasgo común de mantener una conexión más o menos
obvia con el mundo que nos rodea. Con un planteamiento que aúna frescura, sorpresa y novedad, en él se pueden encontrar desde temas clásicos, como la teselación del plano, los grafos y los conejos de Fibonacci, entre otros, a aportaciones más nuevas, como el algoritmo" ruso" para multiplicar sin saberse las tablas, curiosidades geométricas vinculadas con la papiroflexia o exposiciones relacionadas con las curvas que nos llevan a aplicaciones en el mundo cotidiano, como son el tendido de tuberías y cables, el diseño de neumáticos o el trazado de carreteras.
LIBURUAK 5 LIBROS
“magia” de los triángulos no siempre resulta evidente para el alumnado que estudia sus propiedades y aplica el teorema de Pitágoras como una receta. Este libro, gracias a la combinación de divulgación científica y didáctica, conseguirá fascinar a quienes sientan curiosidad por la aportación de las matemáticas en la actualidad.
6 La engañosa sencillez de los triángulos Autor: Robin Jamet Editorial: ALIANZA EDITORIAL ISBN: 9788490973448
Los triángulos han despertado la curiosidad de las mentes más brillantes desde la Antigüedad clásica hasta la actualidad, en problemas de investigación teórica (en el cálculo de áreas y volúmenes de objetos complejos, en las curvas elípticas, en la fractalidad…) y en su aplicación a cuestiones reales, como el desarrollo de los sistemas de GPS, el diseño y la arquitectura. Sin embargo, esta
7 Las matemáticas ocultas Autor: Manuel de León Rodríguez Editorial: LA CATARATA ISBN: 9788491047438
LIBURUAK 6 LIBROS
Un recorrido por las matemáticas de las pequeñas cosas. Al observar el mundo, es muy fácil darse cuenta de que estamos rodeados de números. Están en el ascensor, en las tarjetas de crédito, en las elecciones a la presidencia del gobierno, en las películas, incluso en nuestros sentimientos…Y su presencia no es meramente testimonial. En una sociedad cada vez más tecnológica, los números son códigos de los que depende nuestra privacidad —¡y nuestro dinero!— y, a través de los algoritmos que rigen Internet, pueden controlar nuestra relación con la información. Este libro pretende acercar a esta jungla caótica de números en la que vivimos y ayudarnos a entenderla. A través de los diez capítulos iremos descubriendo las curiosidades de los números que se esconden en nuestra vida cotidiana. Además, incluye un breve diccionario de presencias numéricas sorprendentes. En él no hay definiciones al uso, sino mitos, historias y anécdotas relacionadas con los principales números de nuestra cultura.
8 Todo está en los números Autor: Claudi Alsina Editorial: ARIEL ISBN: 9788434425637
10 Un número perfecto Autor: Santi García Editorial: ANAYA ISBN: 9788441538955
están plasmadas e ilustradas de forma imperfecta en este libro. Porque la realidad NO es perfecta. Tu trabajo NO es perfecto. Tu pareja (asegúrate que no esté leyendo esto) NO es perfecta. Las matemáticas SÍ lo son.Este libro es un recorrido por las grandes ideas matemáticas de la historia, abarcando todas las áreas. Una parte de un todo que te ayudará a entender la evolución del pensamiento humano. Empezamos contando números con los dedos de la mano, y ahora contamos los pulgares que tenemos en Facebook.
de sus ideas en la aplicación al juego del ajedrez como forma de perfeccionamiento.
¿Necesitas razones para aprender matemáticas? ¿Alguna vez has sentido un pequeño Pitágoras en tu interior que no se atreve a salir al escenario? En este libro encontrarás 28 razones para adentrarte en un mundo maravilloso, lleno de arte, perfección y ciencia. 28 es un número perfecto, de los pocos que conocemos, y 28 son las ideas que
La inserción de las matemáticas en el estudio del juego ha supuesto, desde hace ya más de un siglo, una simbiosis perfecta que alimenta, por un lado, el avance hacia la partida de ajedrez perfecta y, por otro, el desarrollo de nuevas mejoras en campos como el de la programación informática o la inteligencia artificial. Grandes matemáticos como Claude Shannon o Alan Turing, que contribuyeron sobremanera a los avances de la ciencia de la computación, volcaron parte
9 Matemáticas y ajedrez Autor: Razvan Gabriel Iagar Editorial: LA CATARATA ISBN: 9788490973219
LIBURUAK 7 LIBROS
11 Introducción a la belleza de las matemáticas Autores: Yoko Ogawa / Masahiko Fujiwara Editorial: FUNAMBULISTA ISBN: 9788494712944
matemáticos. Siguiendo la charla, conoceremos a genios apasionados que, a pesar de las dificultades, se convirtieron en grandes matemáticos y forman ya parte de la historia de la disciplina. Como, por ejemplo, el gran Ramanujan (quien, sumido en la pobreza, estudiaba matemáticas en las calles de su India natal con una tiza y una pizarra como únicos instrumentos) o el británico Alan Turing, que sentó las bases del ordenador moderno. Este libro en forma de conversación permitirá al lector entender la estrecha relación que existe entre la idea de belleza y las relaciones numéricas, entre la estética y la matemática, y nos permitirá comprender aquello que de verdad constituye el corazón mismo de este apasionante campo que inspiró la célebre novela de Yoko Ogawa: La fórmula preferida del profesor.
Tras el éxito de la novela La fórmula preferida del profesor, Yoko Ogawa recoge en este libro una serie de conversaciones sobre el mundo de las matemáticas con el profesor y divulgador Masahiko Fujiwara. Estas conversaciones trazan un recorrido lúdico por la disciplina y por las vidas de ilustres
LIBURUAK 8 LIBROS
12 150 ENIGMAS Y JUEGOS Autor: Miquel Capo Editorial: MONTENA ISBN: 9788490439159 Formato: e-book
Si te apasionan los enigmas, no puedes dejar un rompecabezas sin resolver o no te vas a la cama hasta que has dado con la solución a un problema, ¡éste es tu libro! Ponte a prueba y demuestra de lo que eres capaz con las mejores paradojas, enigmas, problemas matemáticos, juegos de lógica y acertijos. ¿Estás preparado?
LIBURUAK 9 LIBROS
Esta vez la profe se ha pasado, piensa Alicia, problemas con enigmas, misterios, acertijos…Pero ¿esto qué es? Un día, Alicia conoce al enano Ulrico, un personaje de lo más pintoresco, que la ayudará a encontrar respuestas a tanto acertijo por sí misma, y con el que vivirá maravillosas aventuras alrededor del mundo... de los números."La vuelta al mundo en 80 enigmas" es un viaje alucinante a través de las matemáticas. Acompaña a Alicia y descubre la manera más fascinante de conocer la realidad: la lógica. Un libro que continúa el camino trazado por "Malditas matemáticas".
13 La vuelta al mundo en 80 enigmas Autor: Carlo Frabetti Editorial: NARVAL EDITORES ISBN: 9788494678462
Es una colección de 15 entregas con apasionantes retos matemáticos para todos: paradojas de probabilidades, enigmas de la vida cotidiana, problemas divertidos, increíbles fórmulas prácticas, matemáticas (casi) sin cálculos,…. Más información Este es el listado: 1.- Los enigmas del robot Farfel. Acertijos de ciencia ficción 2.- Retos para muy inteligentes. O como medir el talento a través del humor. 3.- Acertijos para devanarse los sesos. Juegos de fútbol, criquet y bicicletas. 4.- Enigmas de otros mundos. Fibonacci y otros universos matemáticos. 5.- Filoenigmas curiosos. Los 150 mejores problemas de ingenio de todas las épocas. 6.- El libro de las paradojas. Figuras ambiguas y problemas insolubles. 7.- Aritmética aplicada e impertinente. Por fin acabarás con tus frustraciones. 8.- Cuatro suecos en París. Problemas sencillos para mantener tu mente en forma. 9.- Las nueve cifras y el cambiante cero. Matemáticas para ser feliz. 10.- Los mágicos números del Doctor Matrix. Conviértete en un maestro de los números. 11.- Juegos para súper inteligentes. Despierta al genio que llevas dentro. 12.- Los marcianos entrañables. Y otros acertijos matemáticos. 13.- Brujería lógica y la lista de robots. Matelocuras provocadoras. 14.- Los extraños encuentros del Doctor Matrix. Secretos y magias de los números. 15.- Satán, Cantor y el infinito. Problemas y brujería matemática
14 Retos matemáticos Editorial: SALVAT
LIBURUAK 10 LIBROS
LIBURUAK 11 LIBROS
15.- LOTERÍA Y MATEMÁTICAS Cuando llega la época de la lotería de Navidad suelen aparecer, habitualmente en los medios de comunicación, artículos y entrevistas sobre las probabilidades de que salga tal o cual número, tal o cual terminación. Y estas navidades de 2017 no han sido una excepción. En el diario El Correo de fecha 17 de diciembre de 2017se publicaba un amplio artículo informando sobre la terminación más frecuente, menos frecuente, números bonitos o feos. Se entrevistaba a un matemático que analizaba la situación basándose en la teoría matemática de la probabilidad y que pretendía desmontar las falsas intuiciones. Pero en el artículo se deslizaba un fallo que suele ser muy habitual , incluso después de haber estudiado dicha teoría. He aquí un párrafo textual del citado artículo: “El hecho de que el Gordo haya terminado 32 ocasiones en 5 y sólo 8 en 1 no significa que el primero sea un guarismo afortunado y el segundo, un gafe. Ambos tienen las mismas ocasiones de salir, un 10%. Lo que pasa es que sólo llevamos 207 sorteos; otra cosa sería si llegáramos a 5.000. Es el azar, subraya el matemático. Si lanzamos una moneda al aire diez veces, es posible que nos salga cara ocho veces y cruz, solo dos. Pero si la tiramos mil veces, ambos eventos tenderían a igualarse, y quizá obtuviéramos un resultado 502 veces y el otro, 498.” Supongo que el error hay que achacarlo a una mala comprensión del concepto de probabilidad. No es cierto que “ambos eventos tenderían a igualarse”. Lo que, como es bien conocido según la teoría de la probabilidad, tendería a igualarse es el cociente entre el número de caras y el número total de lanzamientos y el cociente entre el número de cruces y el número total de lanzamientos.
2011emie@gmail.com
Maketazioa eta argitalpena: Emilio Azueta A02 berritzeguneko aholkularia
Azalaren irudiak : Damir Belavić Pixabay-tik
HURRENGORA ARTE !!! Zuen gustokoa izatea espero dugu. Edozein iradokizun, ekarpen, proposamenerako idatzi helbide honetara:
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