EMIE BULETINA zk. 1

BULETINA BOLETÍN EUSKADIKO MATEMATIKA IRAKASLEEN ELKARTEA SOCIEDAD DE PROFESORADO DE MATEMÁTICAS DE EUSKADI Nº 1 Zk 2017 EMIE 20+11 Euskadiko Matematika Irakasleen Elkarteak bere buletinaren ale beri hau atsegin osoz eskeintzen dizuet. Gure iazko aurreneko alean bezela honetan ere proposatzen ditugun atalak honako hauek izango dira: Problemen txokoa, Ikasgelako esperientziak, Geogebraren txokoa, Historia, Gure Olinpiadak, Web interesgarriak eta informazio anitzak, hala nola argitalpenak, albisteak, kongresuak,.. Berriro ere, Elkartea eta bere buletina zuretzat zabalik daudela gogoratzen dizugu: zabalik eta irrikitan EHEAko matematika irakasleen artean gelago esperientziak konpartitzeko. Zain gaituzu. EMIE 20+11ren jarduerak ikusgai dituzue web horretan: https://sites.google.com/site/ 2011emie/ eta gurekin harremanetan jartzeko e-mailaren bidez 2011emie@gmail.com AURKEZPENA PRESENTACIÓN La Sociedad de Profesores y Profesoras de matemáticas de Euskadi EMIE 20+11, se complace en ofrecer este nuevo número de su boletín Al igual que en nuestro nº 0, las secciones serían las siguientes: El rincón de los problemas, Experiencias de aula, El rincón de Geogebra, Historia, Nuestras Olimpiadas, Webs de interés, Información sobre publicaciones, noticias, congresos,... Volvemos a decirte que la Sociedad y este boletín también están abiertos y deseando poder compartir experiencias dea ula ntre el profsorado de matemáticas de la CAV. Te esperamos. Podéis ver las actividades de la Sociedad en la página: https://sites.google.com/site/ 2011emie/ y contactar con nosotros a través del correo 2011emie@gmail.com PROBLEMEN TXOKOA - EL RINCÓN DE LOS PROBLEMAS Divide y vencerás y poco más para resolver muchos problemas (Santiago Fernández) ....................... ......................................................................................................4 Problemen ebazpenaren garrantzia. Oposizioetako problema ebatziak eta gehiago (José Luis Ramos)....................................15 IKASGELAKO ESPERIENTZIAK - EXPERIENCIAS DE AULA BIGARREN HEZKUNTZA SECUNDARIA La hora de la jerarquía (Goyo Lekuona) .....................................................................42 IKASGELAKO ESPERIENTZIAK - EXPERIENCIAS DE AULA LEHEN HEZKUNTZA PRIMARIA Ginkana Matematikoa (Elena Montejo)................... ..............................................................50 GEOGEBRAREN TXOKOA - EL RINCÓN DE GEOGEBRA Simulación del lanzamiento de un dado (Fernando Fouz) . ..............53 Interpreetación geométrica de la derivada (Fernando Fouz).........59 HISTORIARI SO - UNA MIRADA A LA HISTORIA Lobachevski: el Copérnico de la geomería (Santiago Fernández) ............61 GURE OLINPIADAK - NUESTRAS OLIMPIADAS Olinpiada matematikoak, 2015/2016 ikasturtean (Ana Fdez. de Betoño).................................................................................................................................................................................72 WEB INTERESGARRIAK - WEBS INTERESANTES Dozena bat baliabide matematika ikas-irakasteko (José Manuel lópez Irastotza) .......................................................................................................................................................................... 79 SASKI-NAHASKI - CAJÓN DE SASTRE Liburuak/Libros (Alberto Bagazgoitia).................................................................. 81 Albisteak/Informaciones (Alberto Bagazgoitia).......................................... 96 HURRENGORA ARTE - HASTA EL PRÓXIMO.............................................................................. 101 AURKIBIDEA ÍNDICE BURUA LANEAN IPINIZ 1 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Introducción.- En muchas ocasiones para resolver problemas no hay que tener muchos conocimientos matemáticos, sino ser organizados y pensar bien. Una de las estrategias más potentes para “llegar a buen puerto” es dividir el problema en pequeños problemas, aderezada con la aplicación del “sentido común” y naturalmente acompañada de un cierto cariño por asumir el reto a la hora de resolver problemas. Pero sin duda la mejor manera de resolver problemas es ponernos manos a la obra y pelearnos con el problema. Quiero recordar en este escrito unas reflexiones interesantes del profesor D. Luis Santaló: : Luis Santaló(1911-2001) “La Matemática tiene belleza, tiene utilidad, pero debemos mostrárselas, no ocultárselas bajo el velo de la rutina, el aburrimiento. Cuando planteamos un problema interesante, debemos hacerlo notar, aprovecharlo…, hacer que ellos piensen, conjeturen, intenten resolverlos solos, que vean que pueden “hacer matemática”, que la Matemática no está muerta pues cada uno de nosotros le da vida día a día si no nos limitamos a repetir “ejercicios tipo”. Si, cada día podemos darle vida con nuestro pensamiento, con nuestro ingenio. Si logramos que descubran esto, seguro que la mirarían con simpatía y llegarían a quererla, como la queremos quienes la hemos descubierto como una ciencia viva que evoluciona para servir a las demás ciencias” Divide y vencerás y poco más para resolver muchos problemas Santiago Fernández Asesor de matemáticas del Berritzegune Nagusia- Bilbao BURUA LANEAN IPINIZ EL RINCÓN DE LOS PROBLEMAS PROBLEMEN TXOKOA HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA BURUA LANEAN IPINIZ 2 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Algunos problemas para pensar Creo que esta visión optimista de Santaló puede guiarnos en nuestras clases. Como el camino se demuestra andando, analicemos algunos problemas de “sentido común” “Si fueran nueve los palomares y 10 las palomas. Necesariamente en algún palomar habrá al menos dos palomas”. 1.- A un partido de fútbol asisten 6543 espectadores. Demostrar que hay por lo menos 17 personas que cumplen años el mismo día del año. Solución: Solución Este ejercicio es una aplicación inmediata “del principio del palomar”, pero en el fondo está el sentido común. Pasemos a la resolución: como el año tiene 365 días, hay que distribuir a los 6543 espectadores en 365 casillas.( los días del año) Evidentemente en alguna casilla habrá más de un espectador (he aquí el famoso principio en acción). Dado que 6543:365 = 17,92…, encontraremos al menos un día en el que cumplen años más de 17 espectadores. Recordemos que el principio del palomar dice, en su versión sencilla: “Si tenemos 6 palomas y cinco palomares, necesariamente en alguno de los palomares tiene que haber más de una paloma” 2.-¿Cómo trabajar en la resolución de problemas? BURUA LANEAN IPINIZ 3 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Este nteresante principio fue formulado por primera vez de manera formal por Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), y en consecuencia se conoce a veces como el principio de distribución de Dirichlet o el principio de la caja de Dirichlet. En su versión más formal dice: “ Si m palomas ocupan n nidos y m > n, entonces al menos un nido tiene dos o más palomas en él” Compliquemos un poco más el problema pero bajo los mismos parámetros de razonamiento: 2.- En una reunión de una empresa multinacional hay 206 personas provenientes de cinco países distintos. Se sabe que siempre que se sientan seis personas en una misma mesa al menos dos de ellos tienen la misma edad. Demuestre que entre los 206 personas hay al menos cinco pasajeros que tienen la misma edad, el mismo sexo y la misma nacionalidad” Hay varias maneras de resolver el problema, veamos una que aplica en su razonamiento el llamado principio del palomar. acertadamente de que color es el sombrero que tenia puesto. ¿Cuál es este color y cual es la lógica que uso para saberlo? a) Cada vez que se sientan 6 personas en una mesa dice el enunciado que al menos dos de ellas tienen la misma edad b) Como tenemos 206 personas y vienen de 5 países distintos ( suponiendo que los países son palomares). Al ser 41x 5= 205 y una persona más para completar las 206 personas, concluimos que uno de los palomares ha de tener al menos 41 personas( y hasta 42). Por tanto tenemos: c) 41 personas de la misma nacionalidad y si teniendo en cuenta el apartado a) concluimos que habrá 9 personas de la misma edad . d9 Estas nueve personas tienen la misma edad y son de la misma nacionalidad, por tanto habrá al menos 5 personas del mismo sexo. Que es lo que queríamos demostrar. En otros problemas hay que aplicar razonamientos estrictos: 3.- En una mesa hay tres sombreros negros y dos blancos. Tres señores en fila india se ponen un sombrero al azar cada uno y sin mirar el color. Se le pregunta al tercero de la fila, que puede ver el color del sombrero del segundo y el primero, si puede decir el color de su sombrero, a lo que responde negativamente. Se le pregunta al segundo que ve solo el sombrero del primero y tampoco puede responder a la pregunta. Por último el primero de la fila que no ve ningún sombrero responde acertadamente de que color es el sombrero que tenia puesto. ¿Cuál es este color y cual es la lógica que uso para saberlo?  Solución: El ultimo de la fila puede ver el color del sombrero de sus compañeros, si no puede saber cual es el color del suyo es porque los otros dos no son blancos, por lo que o son los dos negros o es uno de cada color. El segundo de la fila puede ver únicamente el color del sombrero del primero y además tiene la información de lo que pensó el tercero, si tampoco responde a la pregunta es porque ve que el color del primero es negro ya si fuera blanco sabría que el suyo es negro. El primero, después de haber oído al os otros dos, deduce que su sombrero es negro.  Analicemos ahora un problema un poco más complejo, que requiere de la estrategia divide y vencerás y el conocimiento de una estrategia simple como es la “regla del producto” BURUA LANEAN IPINIZ 4 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA 4. Mario es un jugador empedernido que cuando dispone de dinero se lo juega a los dados. Siempre lo hace de la misma forma: gane o pierda, apuesta la mitad del dinero que tiene; a la segunda jugada, apuesta la mitad del dinero que tiene entonces; en la tercera jugada, la mitad de lo que tiene después de la segunda; y así sucesivamente. Al comenzar la partida Mario tenía 16 euros y jugó 6 veces, ganó tres y perdió otras tres. ¿Con cuánto dinero acaba? Solución Seguro que puedes ver con claridad que el orden de partidas ganadas y perdidas es indiferente, por tanto ...  Recordemos que dicha regla dice lo siguiente:  “Si una tarea se realiza en dos etapas, donde la primera se puede realizar de m formas posibles y, si para cada una de ellos la segunda etapa se puede realizar de n distintas formas, entonces la tarea completa se puede arrojar m.n formas posibles”  Ejemplo1:  Si se desea escoger un postre y una bebida, teniendo 6 opciones para el postre y 6 opciones para la bebida, entonces la elección completa se puede realizar de 4·6 = 24 maneras diferentes.  Ejemplo 2: Juan tiene 4 camisas, 6 pantalones, 5 pares de calcetines dos pares de zapatos.¿ cuantas formas distintas tiene de combinarlos?  Desde un punto de vista esquemático la aplicación de la regla del producto nos da el siguiente diagrama  BURUA LANEAN IPINIZ 5 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA 5.- ¿Cuántos números naturales pares de tres dígitos (en base 10) tienen todos sus dígitos distintos entre sí?   Solución  Es un problema en el que es fundamental tener una buena organización de conteo.  Llamemos n1, n2 y n3 a los dígitos del número (n1 son las centenas, n2 las decenas y n3 las unidades). Podemos establecer cuatro casos diferenciados:  1er. Caso: Si n1 y n2 son ambos pares: n1 = 2, 4, 6, 8, n2 = 0, 2, 4, 6, 8, con n2 distinto de n1, mientras que n3 = 0, 2, 4, 6, 8, con n3 distinto de n1 y de n2. Por tanto hay 4 maneras de elegir n1( puesto que el o no puede figurar en el lugar de las centenas), una vez elegido hay 4 maneras de elegir n2, y después hay 3 maneras de elegir n3.  Por la regla del producto hay 4 · 4 · 3 = 48 números posibles en el 1er. caso.    2do caso: n1 es par y n2 es impar: n1 = 2, 4, 6, 8, n2 = 1, 3, 5, 7, 9 y n3 = 0, 2, 4, 6, 8, con n3 distinto de n1. Por tanto Hay 4 maneras de elegir n1, hay después 5 maneras de elegir n2 y después hay 4 maneras de elegir n3 . Por la regla del producto hay 4 · 5 · 4 = 80 números posibles en el 2do. caso.   3er. caso: n1 es impar y n2 es par: n1 = 1, 3, 5, 7, 9, n2 = 0, 2, 4, 6, 8, n3 = 0, 2, 4, 6, 8, con n3 distinto a n2. Hay 5 maneras de elegir n1, hay después 5 maneras de elegir n2 y después hay 4 maneras de elegir n3. Por la regla del producto hay 5 · 5 · 4 = 100 números posibles en el 3er. caso.  4to. caso: n1 y n2 son impares: n1 = 1, 3, 5, 7, 9, n2 = 1, 3, 5, 7, 9, con n1 distinto de n2, mientras que n3 = 0, 2, 4, 6, 8. Hay 5 maneras de elegir n1, hay después 4 maneras de elegir n2 y después hay 5 maneras de elegir n3. Por tanto, como todos los casos son disjuntos hay tantas maneras de elegir el número n como la suma de cantidades en los casos estudiados. Luego hay 48 + 80 + 100 + 100 = 328 números posibles.  Por la regla del producto hay 5 · 4 · 5 = 100 números posibles en el 4to. caso.   BURUA LANEAN IPINIZ 6 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA BURUA LANEAN IPINIZ 7 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA En ocasiones la estrategia de “divide y vencerás” es muy clara:  Solución:Los tres pentágonos buscados tienen en total 15 lados, de los cuales 5 envuelven al pentágono grande. Por tanto 10 lados están “pegados” dos a dos. Esta idea nos da la solución del problema. 6.- ¿Se puede dividir este pentágono en 3 pequeños pentágonos que no estén superpuestos y que entre los tres cubran el pentágono inicial?  7.- Una oveja está atada con una cuerda de 7 metros en el redil que muestra la figura. Si el campo de hierba alrededor del redil es totalmente plano ¿qué superficie total de hierba puede pastar?  Nota: Es posible que algún lector se sienta inclinado a usar otro razonamiento que a primera vista parece razonable. Veamos: si n3 es par puede haber cinco casos, para n2 hay 9 opciones posibles( pues es un número distinto a n3) y por último de los nueve números posibles para n1 podemos escoger 7, pues ya hay dos asignados( el n2 y n3). Resumiendo el número total sería : 7.9.5= 315 números. ¿ dónde está el error en el razonamiento?   Hay problemas que requieren la aplicación del sentido común y unas ciertas dosis de creatividad, por ejemplo:    Solución Es evidente que la solución del problemas será la suma de pequeñas zonas de distintos círculos.El dibujo es suficientemente explicativo. El área pedida es la suma de pequeños sectores circulares( que realmente son cuadrantes de círculos) Un problema que me encontrado en repetidas ocasiones en distintos contextos (la historia original es del divulgador americano S. Loyd) es el siguiente:  Los cálculos nos llevan al siguiente resultado S= = 131 metros cuadrados  BURUA LANEAN IPINIZ 8 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Resolviendo problemas en ocasiones nos encontramos con argumentos falaces, aunque estén disfrazados de un ropaje matemático. Uno de los que más me ha impresionado es el sencillo juego del color de los caballos de Polya.  Dice más o menos lo siguiente.  8.-Cinco niñas que descubrieron que pesándose de a dos e intercambiándose, podían conocer el peso de todas gastando una sola moneda, encontraron que de a pares pesaban 129 libras. 125. 124, 123, 122, 121, 120, 118, 116 y 114. Hay que descubrir ahora el peso de cada una, por separado.  Solución: Desde luego usted habrá resuelto el problema mediante un sistema de ecuaciones (diez ecuaciones con cinco incógnitas). ¿Pero hay otro procedimiento más elemental? Piénselo.  9.- Tenemos un grupo de cinco caballos. Si podemos probar que en cualquier grupo de cuatro caballos son todos del mismo color, entonces es evidente que los cinco son del mismo color. Si tuviéramos cuatro caballos y se verificara que todos los grupos de tres caballos son del mismo color, es claro que los cuatro también son de ese color. Empleando un argumento inductivo, si tenemos grupos de dos caballos y como un caballo inevitablemente es del mismo color que él mismo, entonces los dos caballos son del mismo color y estirando más el argumento podríamos decir que todos los grupos de caballos son del mismo color ¿dónde está el error?  BURUA LANEAN IPINIZ 9 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA BURUA LANEAN IPINIZ 10 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA En la imagen que se muestra se obtienen los grupos de tres estudiantes de la primera jornada, y para obtener los de las siguientes jornadas se rota, dos posiciones cada vez, el disco con los triángulos, obteniéndose así una solución completa del problema en la siguiente tabla:  El matemático inglés Thomas Kirkman, especialista en teoría de grupos, planteó un inocente juego que a la postre se convirtió en resultado muy importante, conocido como “las colegialas de Kirkman”  10.- Quince jóvenes estudiantes salen de paseo todos los días de la semana, de lunes a domingo, de forma ordenada, formando cinco filas de tres estudiantes cada una, ¿cómo organizarlas todos los días de la semana para que ningún par de alumnas compartan fila más de un día?  Solución: Nota: (Los comentarios y solución de este problema han sido obtenidos del magnífico artículo escrito por el profesor de la UPV, D. Raúl Ibáñez, y que se puede obtener en su versión completa en la siguiente dirección http://culturacientifica.com/2016/06/01/problema-las-estudiantes-kirkman/)  Es de señalar que la primera solución a este problema fue dada por el matemático británico Arthur Cayley (1821-1895).   Una solución geométrica al problema de las 15 colegialas de Kirkman se muestra también en libro de Martin Gardner, Las últimas recreaciones: huevos, nudos y otras mistificaciones, que hace uso de discos concéntricos que rotan.  Para finalizar esta pequeña colección de problemas quiero presentar un acertijo de Sam Loyd que ha tenido mucho recorrido histórico y un gran trasfondo matemático(terorema chino del resto)  11.-Con motivo del desfile de San Patricio, el 17 de Marzo, se desarrolló un interesante y curiosa situación que dio lugar a un notable acertijo y que consiste en lo siguiente: El grupo de personas a desfilar en el desfile no excede de las 7.000 personas. Pero resulta que puestas en grupos de 10 queda un espacio libre en la última fila, pasa lo mismo con filas de a 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 y 2., esto es queda un espacio libre en la última fila.Resulta que también pasa lo mismo con filas de a 11 personas ¿puede determinar cuántas personas marchaban en ese desfile?  Solución Es claro que si al mínimo común múltiplo de 2, 3, 4,..., 6, 7, 8 y 9 ( que es 2.520) le restamos una unidad , es un número que puede ser un buen candidato. Pero resulta que 2.519 no es divisible por 11. Sin embargo el número 2(2520)-1 = 5.039 no es divisible por 11 y cumple todas las propiedades. Luego la solución es 5.039  BURUA LANEAN IPINIZ 11 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA “Matematikaren irakaskuntzan edukien transferentzia hutsa baino pentsamendu prozesuak azpimarratu beharko genituzke, matematika bera hein handi batean egiten jakin baita. Zientzia matematikoan, metodoa edukien gainetik dago zalantza barik. Hori dela bide, problemen ebazpenean abian jartzen diren prozesu mentalei lehentasuna eman behar zaie”.  BURUA LANEAN IPINIZ 12 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Problemen ebazpenaren garrantzia gogoratuz . Oposozioetako problema ebatziak eta gehiago José Luis Ramos Soraluze BHIko matematika irakaslea BURUA LANEAN IPINIZ EL RINCÓN DE LOS PROBLEMAS PROBLEMEN TXOKOA HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Gizartea abiada handian transformatzen ari da; eta transformazio bizkor honen ondorioz, hainbat eduki inerte bihurtuko zaizkigu epe laburrean. Edukietan zentratu beharrean, etorkizun hurbilerako erabilgarriagoak izango diren pentsamendu prozesuei eman behar diegu lehentasuna. Izan ere, ikasleek Behin baino gehiagotan entzun eta irakurri izan dugu matematikaren ardatza eta bihotza problemen ebazpena dela, eta zeregin honen inguruan antolatu beharko genukeela matematika beraren irakaskuntza. Adituen iritziz, problemen ebazpenak gainerako ikaskuntza-helburuak eta oinarrizko konpetentziak bere baitan hartu eta egituratzen ditu, matematikari benetako esanahia edo esanahi osoa ematen dio eta maiz ohiko metodologiarekin ezkutuan geratzen diren funtsezko hainbat egitura matematiko agerian uzten ditu. Testuinguru matematiko eta ez-matematikoetako egoera problematikoei aurre eginez, ikaskuntza aktiboa eta autonomoa sustatzeaz gain, pentsamendu prozesu eraginkorrak eskuratzen ditu ikasleak. Langintza honetan gogoz eta zinez murgiltzen ez garen bitartean, ikasleen konpetentzia matematikoaren garapena urria izango da. Miguel De Guzmanek gai honi buruz hitz egin eta idatzi zuen luze. Bere ideiek, aholkuek eta ekarpenek ez dute gaurkotasun izpirik ere galdu. Matematikari eta irakasle handi honek bidea erakutsi eta argitu zigun, eta gure artean ez egon arren, bere hitzek bizirik diraute oihartzun amaiezinaren tankeran:   Ikaskuntzaren ikuspuntutik soluzio zuzena lortzeak garrantzi gutxiago du, hura eskuratzeko jarraitutako prozesuak baino. Prozesu horretan, besteak beste, hainbat estrategia, intuizioa, sormena, imajinazioa, albo pentsamendua eta pentsamendu Problemak ez dira di-da burutzen diren zereginak, denbora bat eskaini behar zaie, eta batzuetan luze pentsatu behar izango dugu. Gehienetan ez dugu algoritmo eta errezeta magikorik aurkituko eta ez zaigu berehalako batean ebazpidea begi aurrean agertuko. Maiz trabatuta aurkituko gara aurrera egin ezinik eta ezintasun horrek deseroso sentiarazi gaitzake. Bestetan, gogoz pentsatu ostean, bide onetik eramango gaituen estrategia egokia aurkituko dugu. Edonola ere, eskainitako denborak eta erabilitako estrategiek, egokienak ez izanda ere, geure ahalmen heuristikoa aberastuko dute, halako moldez non hurrengo saiakeretan arrakasta hurbilago izango dugun.   “Matematika ikastea, problemak ebaztea baino ez litzateke izan beharko…Gaur egungo irakasleek ez dute batere erronka erraza; teorema eta arau operatiboak irakastea baino, ikasleak bere kabuz pentsatzera animatzea, euren jakinmina piztea eta problemak beldur barik ebaztera bultzatzea ez baita hala nolako lana…”  BURUA LANEAN IPINIZ 13 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA estrategia eta ahalmen heuristikoak azalera eta gara ditzaten, benetako erronka intelektualak eskaini behar zaizkie errezetak eta algoritmo hutsak transmititu baino. Gaitasun matematikoa bere osotasunean garatzeko, arrazoibide matematikoa erabiltzera bultzatzen duten jarduerei aurre egitea ikasleen eguneroko zeregin nagusia izan beharko litzateke; nolabait esateko, “elikadura matematiko” orekatua eskaini behar zaie. Matematika jarduerak elikadura-piramideren antzeko egitura batean sailkatzen baditugu, honako antolamendu hau proposa daiteke: piramidearearen oinarrian jarduera osasuntsuak edo aberasgarriak (problemak, testuingurudun problemak, testuinguru gabekoak, itxiak, irekiak, zabalera anitzekoak, ikerketa matematikoak, egiaztapen errazak, egiaztapen bisualak edo ikusizko frogak, proiektuak, jokoak, matemagia,…), piramidearen erdialdean ariketak, lan mekanikoak eta algoritmoak eta goialdean edo puntan kalkulu aritmetiko eta garapen aljebraiko luzeak. Luis Santalók, ospe handiko matematikari eta ikerlariak ere honela zioen:  kritikoa azaleratzen dira; eta horiek guztiak helburu didaktiko desiragarri eta onuragarriak dira ikaste prozesuan. Ebaluatzeko garaian, emaitzaren zuzentasunak bere balioa izan arren, prozesuari eta errendimenduari eman beharko genioke lehentasuna; honela, emaitza okerrak ebaluazio positiboa ekar dezake, ikaslearen jarrera, saiatze-maila eta funtsean erabilitako prozedura egokiak izan badira. Problemak ebazterakoan hainbat fase edo pauta jarraitzea gomendatzen da; orokorrean eta laburbilduta hauek aipatu daitezke: erronka onartu, problema azaltzen duen egoera ulertu eta bereganatu, zeure egin, problemaren nondik norakoak antzemateko jolastu, astindu, hainbat estrategia proposatu, egokiena aukeratu eta aurrera eraman, ez itsutu ideia bakar batekin, aldatu, probatu beste bat, aztertu zehatz-mehatz jarraituriko ibilbidea, saia zaitez ulertzen erabilitako estrategiak zergatik funtzionatu duen, edo zergatik ez duen funtzionatu, begiratu ba ote dagoen ebazteko metodo errazagorik edo dotoreagorik eta, bukatzeko, etekina atera lanari, hausnarketa egin pentsamendu prozesuaren inguruan etorkizunerako ahalmen heuristikoak indartzeko. Baina gure ikasleek problemak ebaztera gonbidatu baino lehenago, aurrena guk ekin beharko genioke mota eta maila guztietako problemak ebazteari. Erronka intelektual bezala onartu, behatu, aztertu, antolatu, errazenetik hasi, kodifikatu, irudikatu, gogoz pentsatu, induzitu, deduzitu, imajinatu, sormena abian ipini eta, jakina!, pentsatzeaz gozatu. Jarraian, problema sorta bat ebazpideekin batera doazkizue. Batzuk, 2016ko oposizioetan proba praktikoan agertutakoak dira eta beste batzuk, “Problemen Ebazpena Lankidetzan Blog Batekin” ikastarokoak. Ebazpideak neronek edo ikastarokideek proposatutakoak dira, baina, egon ziur badaudela dotoreagoak diren soluzio bideak. Ea proposamen hauek interesgarriak diren.  BURUA LANEAN IPINIZ 14 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA PROBLEMA 1 (EPE-OPE 2016) Aurkitu hirugarren mailako polinomioa , hurrengo baldintza hauek betetzen dituena: eta hortik abiatuz deduzitu hurrengo baturaren balioa:   BURUA LANEAN IPINIZ 15 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA PROBLEMA 2 (EPE-OPE 2016) Edozein hirukitatik abiatuz, eta bere aldeak luzatuz, hiruki berri bat sortzen da. ABC hasierako hirukia bada, eta A1B1C1 hiruki berria, zera betetzen da: A, B eta C puntuak C C1, AA1 eta B B1 zuzenkien erdiguneak direla, hurrenez hurren. Zein da ABC eta A1B1C1 hirukien azaleren arteko erlazioa? http://eginmatematika.blogspot.com.es/2015/04/triangeluen-azalerak-konparatzen.html  BURUA LANEAN IPINIZ 16 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Triangeluaren oina eta aurkako erpina lotzen dituen segmentua erdibidekoa (mediana) denean, azalera bereko bi triangelu izango ditugu (oinaren luzera eta altuera berberak).   Propietate hau irudiko triangeluetan aplikatzen bada: ABB1triangeluaren erdibidekoa AC→Azal. ABC=Azal. ACB1=S ACA1triangeluaren erdibidekoa CB→Azal. ABC=Azal. BCA1=S BCC1triangeluaren erdibidekoa AB→Azal. ABC=Azal. ABC1=S AA1C1triangeluaren erdibidekoa C1B→Azal. ABC1=Azal. A1BC1=S BA1B1triangeluaren erdibidekoa A1C→Azal. BCA1=Azal. CB1A1=S CB1C1triangeluaren erdibidekoa B1A→Azal. ACB1=Azal. AC1B1=S  Azalera A1B1C1=7·S non S=Azalera ABC → Edozein triangelutan ondoko propietate hau egiaztatzen da: "Triangelu baten oina eta honen aurkako erpina lotzen dituen segmentuak hasierako triangelua bi triangelutan zatitzen du. Triangelu berrien azaleren arteko erlazioa eta oinen artekoa berdinak dira" BURUA LANEAN IPINIZ 17 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA (Bayes) PROBLEMA 3 (EPE-OPE 2016) Poltsa batean bola zuriak eta bola beltzak sartu nahi dira. Txanpon bat bost aldiz jaurtitzen da eta lortutako aurpegiak adina bola zuri sartzen dira poltsan, eta lortutako gurutzeak adina bola beltz. Bola bat ateratzen da, eta beltza da. Kalkulatu bola hori atera aurretik poltsan hiru bola zuri eta bi beltz egoteko probabilitatea.  BURUA LANEAN IPINIZ 18 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA P(GB) probabilitate osoaren teoremaz kalkula daiteke, (Probabilitate hauek Laplaceren erregelaz ere kalkula daitezke) Beraz,  Ebazpen1 Lehenengo eta behin, gertaera desberdinak izendatuko ditugu, Gm:poltsan m bola zuri eta (5-m) beltz daude (0≤m≤5) GB:poltsatik bola beltza atera Kontuan izango dugu P(aurpegia)=P(gurutzea)=1/2  P(Gm) probabilitateak banaketa binomiala erabiliz,  Horrela,  BURUA LANEAN IPINIZ 19 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Ebazpen 2 Egoera zuhaitz diagrama batean laburtuz,   Hau funtsean Bayesen Teorema da,  P(aurpegi)=P(gurutze)=1/2 dela kontuan izanik eta egoeraren simetria dela medio, argi dago P(GB)=P(Gz)=1/2  Bola beltza atera daitekeen 16 kasuetatik (16 = 0+1+4+6+4+1) 4 kasuetan poltsaren osaera 3zuri, 2beltz da; ondorioz, eskaturiko probabilitatea:  BURUA LANEAN IPINIZ 20 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Ebazpen 3 Emandako baldintzak mugatu egiten du lagin espazioa. Poltsan eskua sartu eta bola beltza atera ondoren lau bola geratzen dira barruan. Ez dakigu lau hauetatik zenbat diren zuriak eta zenbat beltzak, Kasua posibleak:   Aldeko kasuak: 4→  Bola beltza atera aurretik poltsan 3 bola zuri eta 2 beltz egoteko probabilitatea:  Galdera 1 Bigarren bola bat ateratzen da eta zuria izan da. Zein da bi bolak atera aurretik poltsan 3 bola zuri eta 2 beltz egoteko probabilitatea? (lehenengoa itzuli barik). BURUA LANEAN IPINIZ 21 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Edo beste era batean, gelditzen diren 4 bolekin Laplaceren erregela aplikatuz, Koadro batean labur daiteke prozesua,  Zuhaitz diagramaz Galdera 2 Bola beltza atera ondoren berriz sartzen da, bigarren bola bat atera eta hau ere beltza izan da. Bolak atera aurretik, zein da poltsan 3 bola zuri eta 2 beltz egoteko probabilitatea? Atera den lehenengo bola beltza izan da. Baldintza honek informazio berri bat ematen digu poltsaren balizko osaerari buruz; halako moldez non, a prioriko probabilitateak modifikatu egiten dituen. Zuhaitz diagramaz, BURUA LANEAN IPINIZ 22 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Jarraian Bayesen Teoremaz, Koadro honetan prozesuaren laburpena. Bigarren zutabean lehenengo bola atera ondoren, a posteriori deituriko probabilitateak ditugu. Probabilitate hauek, a priorikoak dira bigarren bola atera aurretik:  Frogatu, zenbaki perfektua dela, lehena bada.   BURUA LANEAN IPINIZ 23 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Jarraian Bayesen Teoremaz, PROBLEMA 4 (EPE-OPE 2016) Zenbaki arrunt bat perfektua dela esaten da bere zatitzaileen baturaren berdina denean, 1 kontuan hartuta baina ez zenbakia bera.Adibidez, 6 eta 28 zenbakiak perfektuak dira, 6=1+2+3 eta 28=1+2+4+7+14 dira eta.  BURUA LANEAN IPINIZ 24 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA (I) eta (II) batuz,  Bigarren errenkadako zatitzaileen batura zenbakia bera ezik (progresio geometriko baten n gaien batura),  Ondorioz, zenbakia perfektua da.  PROBLEMA 5 (EPE-OPE 2016) Izan bitez m eta n bi zenbaki oso eta positiboak. Aurkitu lehenengo koadrantean kokaturiko kurba beherakor guztiak, hurrengo propietate hau betetzen dutenak: Kurbako edozein puntu P hartuta, puntu horretako zuzen ukitzaileak OX eta OY ardatzak A eta B puntuetan mozten baditu, orduan BP eta PA zuzenkien arteko proportzioa m/n da.Zein motatako kurbak lortzen dira m = n kasuan? BURUA LANEAN IPINIZ 25 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA BURUA LANEAN IPINIZ 26 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA 5 ezkerraldean jarriko dugu ahalik eta handiena izan dadin:  BURUA LANEAN IPINIZ 27 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA 10 pospolo eta 3 soberan (3kin ezin zifrarik eratu; beraz, ez du balio)  PROBLEMA 6: “Poxpoloak eta digituak” Pospoloak erabiliz gure Sistema Hamartarreko hamar digituak eraiki ditugu. (ikusi irudia) 0-ak sei pospolo behar ditu, 1-ak bi, 2-ak bost,... 27 idazteko denera 9 pospolo behar dira (4 pospolo 2 idazteko + 4 pospolo 7rako), 138 eratzeko 14, ... Zein da 13 pospolorekin idatz daitekeen zenbakirik handiena?  Ahalik eta zenbakirik handiena idazteko, erabil dezakegun pospolo kopurua (13) optimizatu beharra dago: zenbakiaren zifra kopurua maximizatuz eta zifra bakoitzak behar duen pospolo kopurua minimizatuz. Pospolo gutxien behar duen zifrak 1 da (bi pospolo); beraz ahalik eta bateko gehien izan behar ditu:  8 pospolo eta 5 soberan (5a eraiki daiteke)  12 pospolo eta 1 soberan (ez du balio, guztiak erabili behar dira)  PROBLEMA 7: “Zenbat urte ditu hiririk zaharrenak” Munduko hiririk zaharrenak denborak duen adinaren erdia du orain. Duela mila milioi urte, mila milioi urte barru denborak izango duen adinaren bi bostenak zituen hiriak. Hori, berriro diotsut, duela mila milioi urte zen. Esango al didazu, adiskide, zenbat urte dituen hiri zaharrenak?  BURUA LANEAN IPINIZ 28 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA 7.000 miloi urte.  Hala ere, problemari ez badiogu mugarik ipintzen. Martak eta biok proposatutakoak:  BURUA LANEAN IPINIZ 29 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Adibidez: Demagun Martini 20 esan diodala belarrira eta Ixabeli beste zenbaki bat. Ozenki 23 eta 30 esango dut. Hasiko gara Martinekin, honela galdetuz: zein da Ixabeleren zenbakia? Honek, ez dakiela erantzuten du, ezin duelako erabaki 3 eta 10ren artean. Orain, Ixabelen txanda da: zein da Martinen zenbakia? Baina Ixabelek ere ez dakiela dio. Ondoren, berriz ere Martini galdetzen diogu, eta 10 dela erantzuten du. Nola jakin du Martinek Ixabelen zenbaki sekretua 10 dela? Azaldu.  Jabierrek proposatutako bertso-problema polit hau goiko diagraman laburtu dugu, barnean daraman mezu ezkutua agerian gera dadin. Alde batetik, gaur egun hiriak denborak duen adinaren erdia du. Goiko errenkadan: (zati berdea + zati gorria = denboraren adina) eta (zati gorria=hiriaren adina). Bestetik, gaurtik 1.000 miloi urtera denborak izango duen adina (1) unitate bezala hartu izan dugu. Honen 2/5a da hiriaren adina duela 1.000 miloi urte. Zati berdeari 1.000 miloi urte kentzen badizkiogu, beste 2/5 dugu. Azkenik, 3.000 miloi urtek osatzen dute falta den 1/5a. Ondorioz, 1.000 miloi urte barru, denborak 15.000 miloi urte izango ditu eta hiriaren adina: 15.000ren2/5+1.000=6.000+1.000=7.000 miloi urte PROBLEMA 8: “Zenbakia deduzituz” Demagun bi lagun aurrean ditudala: Martin eta Ixabel. Joko bat proposatuko diet, Martini ahopean zenbaki sekretu bat esango diot eta, ondoren, beste bat Ixabeli. Jarraian, bi zenbaki esango ditut ozenki: bata bi lagunei esandako zenbakien batura eta bestea ausaz aukeratutako edozein zenbaki (biak edozein ordenetan esanda). Helburua: batak bestearen zenbaki sekretua asmatzea. Nola? BURUA LANEAN IPINIZ 30 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Ez, ez dago ikur positibo eta negatiboen konbinaziorik azkeneko emaitza 0 izan dadin. Zenbaki guztien batura 1+2+3+4+5+6+7+8+9=55 bakoitia izateak ezinezko bihurtzen du 0 lortzea. Demagun guztien batura kalkulatu dugula (55). Orain joango gara ikur positibo batzuk negatibo bihurtzen ea 0 lortzen den. Baina, zera ikusten da, ikur bat negatibo bihurtzean, 55ri bi aldiz zenbakia kendu behar diogula: Adibidez, 1+2+3-4+5+6+7+8+9=47; hau da 55-2·4=47 1+2-3+4+5+6+7-8+9=33; hau da 55-2·3-2·8=33 Emaitza beti izango da bakoitia, beraz ezinezkoa da 0 lortzea.  PROBLEMA 9: “Zenbakiekin jolasean I” 1tik 10ra zenbaki guztiak idatzi ondoren, (+) ikur positiboak eta (-) negatiboak idatzi ditugu zenbakien artean. Ba al dago ikurren konbinazioren bat eragiketak egin ondoren bukaerako emaitza 0 izan dadin?   Martini 20 esan diot belarrira eta Ixabeli beste zenbaki bat. Ozenki 23 eta 30 esan ondoren, txandaka galdetzen diet: Txanda 1: Martin, zein da Ixabeleren zenbakia? Honek, ez dakiela erantzuten du, ezin duelako erabaki 3 eta 10ren artean. Txanda 2: Ixabel, zein da Martinen zenbakia? Ixabelek 3 izan ez gero, Martinek 20 edo 27. Baina 27 baztertu behar du, bestela Martinek lehenengo txandan Ixabelena 3a dela zuzenean asmatuko luke (27 zenbakia 23 eta 30 artean dagoelako). Beraz, Martinena 20 dela jakin beharko luke halabeharrez, baina ez dakiela dio, bere zenbakia ez delako 3, 10 baizik. Txanda 3: Martin, zein da Ixabeleren zenbakia? Ixabelen zenbakia ez da 3, bestela asmatu behar zuen bere txandan. Ez dago zalantzarik, 10 da.   PROBLEMA 11: “Zenbakiekin jolasean III” Ezinezkoa da, zenbaki guztien batura: 1+2+3+···+99+100+101=2.601 bakoitia delako. Ikur positibo bat negatibo batez ordezkatzerakoan, totalari kantitate bikoitia kentzen diogu, eta jakina denez, bakoitia – bikoitia = bakoitia.  BURUA LANEAN IPINIZ 31 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Azter ditzagun errazagoak diren kasu batzuk, zifra gutxiagoko zenbakiak, baina zifra kopuru bakoitiarekin:   17 zifrako edozein zenbaki bat idatzi. Zifren ordena aldatu eta gero, bigarren zenbaki bat lortuko duzu. Bi zenbakiok batu. Egiaztatu batuketaren emaitzak gutxienez digitu bikoiti bat izango duela. PROBLEMA 10: “Zenbakiekin jolasean II” 1, 2, 3, 4,..., 99, 100, 101 zenbaki arrunten zerrenda ordenatua idatzi dugu arbelean. "+" eta "-" ikurrak banatuko ditugu zenbakien artean eta eragiketak egin ondoren, posiblea al da azkeneko emaitza 0 izatea?   Hirugarren adibidea nahiko adierazgarria da: 9+4=13 eskumako eta ezkerreko zutabeetan. Eskumakoan eramanik ez dagoenez bakoiti (3) mantentzen da, baina ezkerrekoan aurreko zutabetik datorren eramana batu behar zaio bikoiti (4) bihurtuz. Aurretik zifraren bat bikoitia ez bada, nahitaez azkenekoa eramana dela eta bikoiti bihurtuko da.  BURUA LANEAN IPINIZ 32 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Hamazazpi edo zifra kopuru bakoitia duen edozein zenbakiarekin lehenago edo beranduago baturan zifra bikoitiren bat agertuko da. Demagun aurkitu dugula 17 zifrako zenbaki bat idazkera alderantzikatuko zenbakiarekin batzean zifra bikoitirik ematen ez duena. Eta ikus dezagun ezinezkoa dela: Zenbakia eta zenbaki bera atzekoz-aurrera bata bestearen gainean idatziko ditugu batuketa egiteko, eskumatik ezkerrera zutabeak 1tik 17ra zenbatuz. Lehenengo zutabetik zortzigarrenera batu eta gero, guztietan zifra bakoitiak lortu ditugu (eramana gabe edo eramanaren eraginez). Erdiko zutabean (9.ean) zifra bera bi aldiz agertuko da. Bi hauen batura bikoitia denez, bakoitia bihur dadin aurreko zutabetik (8.tik) eramana izan behar dugu derrigorrez. 10. zutabea eta 8.a berdinak direnez, 10.tik 11.ra eramana dago. Azkeneko hau, 11.a, berez bikoitia da, baina gehi eramana bakoitia. 11.a bikoitia bada; orduan, baita 7.a ere. Beraz, 6.tik 7.ra eramana dago. Orduan, 12.tik 13.ra eramana… Horrela jarraitzen badugu, aurretik ez bada zifra bikoitirik agertu, 17.an agertuko da nahitaez, 16.tik datorren eramanaren ondorioz (konturatu, posizio bakoitiko zutabetara eramana dagoela) Adibidez, PROBLEMA 13: “Lau zenbaki lehen” Falta den zenbakia: 215. Ezkerreko eta eskumako zenbakien zifrak batuz erdikoa sortzen da ondoko eran:   11, 919, 9.173 eta 1.117 Zifrak berdinak dituen bi zifrako zenbaki lehen bakar bat dago: 11; beraz A=1. Lortu dugu lehenengo zenbakia, 11.  PROBLEMA 12: “Galdutako zenbakiaren bila” BURUA LANEAN IPINIZ 33 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Zenbaki lehenak direnez B, C eta D batekoen zifrek ezin dute balio bikoitirik hartu, ezta 5a ere (5ean bukatzen diren zenbakiak 5ren multiploak direlako). Beraz, {1,3,7,9} geratzen dira. Zatigarritasun beste irizpide batzuk gogoratuz:  Ondorengo lau zenbakiak lehenak dira: AA, BAB, BACD eta AAAC Zenbaki desberdinetako letra berdinek balio berdina daukate eta agertzen den ordenan kokatuta egon behar dute. Zein dira lau zenbaki lehenak?  Ondoko zerrendan, zenbaki bat galdu zaigu. Jarri martxan zeure detektibe sena, galdutako zenbakia agerraraziko digun erlazioa aurkitzeko. Zein da galdera ikurraren lekuan doan zenbakia? Zergatik?  PROBLEMA 14: “Joan-etorria” Taxista batek Donostia-Bilbo bidea 30 km/h-ko batezbesteko abiadurarekin egin du. Zein batezbesteko abiadurarekin bueltatu behar du Bilbotik, joan-etorri guztian 60 km/h-ko batezbestekoa egiteko?  Zifren batura 3ren multiploa bada, zenbakia 3ren multiploa (berdin 9arekin). Posizio bikoitien zifren baturaren eta posizio bakoitien zifren baturaren diferentzia 11ren multiploa bada, zenbakia ere bai. Zera ondorioztatzen da,  BURUA LANEAN IPINIZ 34 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Ezinezkoa da. Azaltzeko, Inazio eta Lorentzo taxisten laguntza izango dugu. Inazio Donostiatik irten da, Bibora iritsi eta gelditu gabe itzultzen da Donostiara ibilbide osoan 60 Km/h-ko abiadura konstantez mugituz. Lorentzo, ordea, Donostiatik abiatu da Inaziorekin batera, baina astiro doa, 30 Km/h-ko abiaduraz.  PROBLEMA 15: “Alfila” Bi jokalari daude, bat lehenengo jokalaria izango da (hasten dena) eta bestea bigarrena. Xake-taulan alfilak ipintzen joango dira txandaka, lehenengo jokalariak alfil bat ipiniko du, ondoren bigarrenak beste bat eta horrela jarraian. Bete beharreko baldintza: alfil batek ezin izango du beste bat jan edo harrapatu. Bere txandan alfila ezin duena ipini galtzailea izango da.  Inaziok ibilbidea amaitutakoan, non dago Lorentzo? Lorentzok Inaziok eraman duen batez besteko abiadura nahi du lortu, zer abiadurarekin egin beharko luke Bilbo-Donostia itzulera, ibilbide guztiko batez besteko abiadura 60 Km/h izan dadin? Posiblea al da? Ezta argiaren abiaduran ere, ez du inolaz ere bere helburua lortuko; abiadura infinitua beharko luke. Diagraman argiago ikusten da:   BURUA LANEAN IPINIZ 35 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Orain, ohiko azalpena emango dugu. Bide erdia (x Km) 30 Km/h-ko abiaduraz, t=x/30 ordu behar izan ditu. Itzulera, beste erdia (x Km), V abiaduraz, t=x/V ordu behar izan ditu. Batez besteko abiadura,  Ba al dago irabazteko estrategiarik? Lehenengo ala bigarren jokalariarentzat?  BURUA LANEAN IPINIZ 36 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Bukaeran, 10+15+20 = 45 multzo harri bakarrekoak egongo dira. Hasieran 3 harri pilo zeudenez, denera bukaera arte 43 mugimendu egin dira. Beraz, ez dago estrategiarik; 43 bakoitia da, lehenengo jokalariak irabaziko du nahitaez.  Zer nahiago zenuke, lehenengo ala bigarren jokalaria izatea? Nola jokatu behar duzu irabazteko? Ajedrez taulan ez dago erdiko laukirik; hortaz, bigarren jokalariak abantaila izango du. Lehengo jokalariak aukeratutako laukiaren simetrikoa den batean jarri beharko du alfila bigarren jokalariak bere txandan; horrela jokatuz irabaziko du. PROBLEMA 16: “Harri piloa” Bi harri-pilo ditugu, batak 20 harri ditu eta besteak 30. Bi lagun hasiko dira txandaka harriak hartzen, jokaldi bakoitzean nahi beste harri eta nahi duten harri multzotik, baina harriak pilo bakar batetik hartuta. Azkeneko harria hartzen duena irabazi egingo du.  PROBLEMA 17: “Hiru harri piloak” Hiru harri pilo ditugu: batak 10 harri ditu, bigarrenak 15 eta hirugarrenak 20. Txandaka bi lagunek harri piloak bitan joango dira zatitzen. Hau da, lehenengo lagunak nahi duen piloa aukeratu eta bitan banatuko du (adibidez, 15 harrikoa, 4 eta 11ko multzoetan); ondoren, bigarrenak jokatuko du, lau multzoetatik bat aukeratu eta zatitu. Bukaeran, zati gehiago egin ezin duenak galduko du. Zeinek irabaziko du? lehenengo jokalariak ala bigarrenak?  Lehenengo jokalariak estrategia irabazlea dauka. Lehenengo jokaldian bi harri multzo berdindu behar ditu, 10 harri 30ko pilotik hartuz. Ondoren, bigarren jokalariaren mugimendu bera egingo du, baina beste multzoan. Hau da, bigarren jokalariak 5 harri hartzen baditu 1go multzotik, berak 5 ere hartuko ditu, baina bigarren multzotik.  Zein da bi bola beltz ateratzeko probabilitatea? A kutxan eta 5 beltz B kutxan banaketa optimoa dela pentsa dezakegu. Horrela, bola zuri bat ateratzeko probabilitatea:  BURUA LANEAN IPINIZ 37 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA Bi bola beltz ateratzeko probabilitatea zero da. 2 bola zuri ateratzeko probabilitate 1/2 izateak, kutxa barruan 2 bola zuri eta 2 beltz daudela pentsatzera bultzatzen gaitu; baina ez da horrela. Hala balitz,   P(Z,Z)=P(Z lehenengoa)·P(Z bigarrena/Z lehenengoa)=(2/4)·(1/3)=1/6 egiaztatuko litzateke.  Beraz, kutxan 3 zuri eta beltz bakarra dago (Z,Z,Z,B); orduan: P(Z,Z)=P(Z lehenengoa)·P(Z bigarrena/Z lehenengoa)=(3/4)·(2/3)=1/2 P(B,B)=P(B lehenengoa)·P(B bigarrena/B lehenengoa)=(1/4)·(0/3)=0 Bestela, Ziortzak proposatzen duen moduan, aljebraren laguntzaz (x bola zuri):  PROBLEMA 18: “Kutxak eta bolak I” Kutxa batean bola zuriak eta beltzak daude, denera lau bola. Eskua sartu eta bi bola atera ditugu, biak zuriak izateko probabilitatea 1/2 dela jakinda:   PROBLEMA 19: “Kutxak eta bolak II” 5 bola zuri, 5 beltz eta bi kutxa daude. Bola guztiak bi kutxetan banatu eta gero (bietan dago bolaren bat), zoriz kutxa bat aukeratu da eta bertatik bola bat atera. Ateratako bola zuria izateko probabilitatea maximoa izan dadin: Nola egin behar da bolen banaketa? Ba al dago banaketaren bat non aipatutako probabilitatea1/2 baino handiagoa den?  Ondoren mahi gainean jartzen dugu bere aurpegietako bat bistan dagoela eta bestea ezkutuan. Demagun ikusten den aldea zuria dela. Apustua egin behar duzu ikusten ez den aldea zuria ala gorria den. Zer da probableagoa, ezkutuan dagoen aurpegia zuria ala gorria izatea? Zergatik?  Hasiera batean, intuizioak bultzatuta, ohikoa izaten da berdin dela zuria ala gorria aukeratzea, probabilitatea 0,5 edo %50 delako. Baina ondo aztertu eta gero, edota esperimentazioaren bidez (honen garrantzia beti eduki beharko genuke kontuan), zuria aukeratzeak abantaila ematen dizula ikusten da; hain zuzen ere, irabazteko probabilitatea 2/3 da. Baina, zergatik?  Hona hemen azalpen bat: Gora begira dagoen aldea zuria bada, bi aldeetatik gorriz margotuta dagoen txanpona baztertu egiten da. Beste bietako bat izan daiteke, bi aldeak zuriz ala bat zuriz eta bestea gorriz dituena (denera 3 aurpegi zuri eta bat gorri); baina ikusten dena zuria denez, ezkutuan dagoen aldea zuria izateko 2 aukera daude eta gorria izatekoa bakarra; 3tik 2 zuri eta 1 gorri. Bestela, aldeak izendatuz: Z1Z2 bi aldeak zuriz eta Z3G alde bat zuriz eta bestea gorriz. Orduan,  Gezurra dirudien arren, badago beste banaketa bat, probabilitatea nabarmen igotzen duena: A kutxan bola zuri bat eta B kutxan beste guztiak ( 4 zuri eta 5 beltz). Orduan, bola zuri bat ateratzeko probabilitatea:  PROBLEMA 20: “Hiru txanponak” Hiru txanpon ditugu, bata bi aldeetatik zuriz margotuta, beste bat bietatik gorriz eta azkena alde batetik zuriz eta bestetik gorriz. Poltsa batean sartu eta begiratu barik zoriz bat aukeratzen dugu. BURUA LANEAN IPINIZ 38 HACIENDO TRABAJAR LA CABEZA IKASGELAKO ESPERIENTZIAK EXPERIENCIAS DE AULA En este apartado la cuestión es mostrar al alumnado cómo expresiones que se dicen igual, difieren según su "escritura". Y por el contrario cómo expresiones "escritas" diferentes representan iguales operaciones. Quiero decir, que tenemos que mostrarles la jerarquía de las operaciones, pero de una manera diferente a la clásica de recitar la lista de prioridades y luego ponerles ejercicios para aplicar aquello que acaban de trabajar. Es más una propuesta de cara a que el alumno descubra por si mismo la importancia de los paréntesis , la prioridad de la potenciación etc, etc . Bueno, por si mismo y con la inestimable ayuda de la calculadora que le irá proporcionando los resultados correctos a las diferentes tareas que se le asignan. En este punto cabría mencionar la importancia de un buen soporte para nuestra labor. Al igual que ocurría antiguamente con los libros, y hoy día con las calculadoras y alguna aplicaciones informáticas, hay que diferenciar la escritura en una línea de la escritura natural de las expresiones matemáticas . Con un ejemplo lo veremos mejor.  Resulta que me lío con el resultado  Lo dicho. Ahora que todos andamos de cabeza y pendientes del reloj, se me ha ocurrido escribir este artículo como homenaje a la hora. Y como vivimos inmersos en la sociedad 3.0 ¿o ya ha pasado a 4.0? no necesitaremos más que papel, lápiz, y si eso, una sencilla calculadora que nos ofrecerá suficiente ayuda. para trabajar el asunto de la jerarquía de las operaciones, de diferente manera a como la abordamos habitualmente en clase. Y ya de paso, aprovecho para indicar cuestiones que creo que muchas veces no están tan claras como nos parece a nosotros.  IKASGELAKO ESPERIENTZIAK EXPERIENCIAS DE AULA 1 BIGARREN HEZKUNTZA/ SECUNDARIA BIGARREN HEZKUNTZA SECUNDARIA La hora de la jerarquia Goyo Lekuona Está claro que en los dos ejemplos hemos calculado lo mismo, pero la diferencia entre una escritura y otra es abismal, incluso desde el punto de vista de la interiorización de las jerarquías y las operaciones a realizar, ya que, dónde quedan los paréntesis que he tenido que escribir en el caso de la escritura en línea Aquí habría que recalcar la importancia de los paréntesis al utilizar la escritura de una línea. Se les puede pedir a los alumnos que alternen entre la escritura de una línea, con la de texto natural matemática. Dejando claro que al final debería ser indiferente cómo le mostremos la expresión ya que deben ser capaces de trabajar con cualquiera de las dos y llegar al resultado correcto en todos los casos, y es más, podemos ir un paso más allá pidiéndoles que relaciones las expresiones escritas en un estilo con su equivalente en el otro.  Solo con ver los resultados podemos establecer un paralelismo entre una escritura y la otra, e intentar los casos desparejados escribirlos de la otra forma y, si es necesario, comprobarlo con la calculadora.  IKASGELAKO ESPERIENTZIAK EXPERIENCIAS DE AULA 2 BIGARREN HEZKUNTZA/ SECUNDARIA Hagamos un paréntesis Uno de los problemas a los que se enfrentan los alumnos de matemáticas, al menos desde mi punto de vista, es el de que muchas veces por "ahorrar" en la escritura les llevamos a confusión. Está claro que si escribiésemos todos los números con su signo, entre parentesis, con todas las operaciones bien escritas y demás todo estaría mas claro, a pesar de que las expresiones serían mucho mas farragosas De esta manera aclararíamos casos de dudosa interpretación a costa de pasar mas tiempo, y ya puestos en la broma, gastar tinta y paréntesis que van carísimos ;-) Por eso, este ejercicio consiste en "simplificar" las expresiones propuestas y ya de paso escribirlas con notación natural La forma de comprobar nuevamente nuestro trabajo seria tan sencillo como escribir la expresión propuesta y la que han dicho los alumnos y comparar los resultados, discutiendo los casos en los que no coincidan  IKASGELAKO ESPERIENTZIAK EXPERIENCIAS DE AULA 3 BIGARREN HEZKUNTZA/ SECUNDARIA ¿Qué ha entendido la calculadora en el tercer ejemplo? Claro, como entre el 10 y el paréntesis no hay signo de operación, la calculadora utiliza el producto implícito. Tiene su lógica. Para los siguientes ejemplos solo hay que saber cómo guardar un valor ( en nuestro caso -3) en una variable ( en nuestro caso X). Hay que seguir la siguiente secuencia de teclas z3J) IKASGELAKO ESPERIENTZIAK EXPERIENCIAS DE AULA 4 BIGARREN HEZKUNTZA/ SECUNDARIA Claramente los tres casos "suenan" igual si los leemos., pero está claro que la calculadora le da prioridad al exponente sobre el signo de negativo ( cosa a mi entender completamente ilógica) Con los siguientes ejemplos la confusión llega a límites inimaginables  Calcula más rápido que la calculadora Bueno, ahora volvemos a los problemas de entendimiento. Está claro que si a los alumnos les preguntamos cuánto es menos tres al cuadrado, nos dirán que nueve ( al menos los buenos ;-) ¿Por qué entonces la calculadora nos hace estas cosas raras?¿Qué entiende ella?  Como en los anteriores apartados, el último ejemplo es el que puede dar lugar al más interesante de los debates. Si en los casos en los que no vemos la operación, se da por supuesto que debemos multiplicar, ¿qué pasa en este caso? En efecto, ese último caso se trata de una fracción mixta elevada al cuadrado ;-) Esto de las operaciones tiene su guasa ;-) Y en este punto ya podemos empezar a pedir a los alumnos, además de el resultado del cálculo, que ellos pueden hacer perfectamente sin calculadora, la expresión equivalente a cada una de las operaciones propuestas y comprobar si la realizan adecuadamente  Y para recuperar el valor de la X teclea [ o Q) De manera que ahora te toca hallar la respuesta a estas operaciones antes que la calculadora  IKASGELAKO ESPERIENTZIAK EXPERIENCIAS DE AULA 5 BIGARREN HEZKUNTZA/ SECUNDARIA IKASGELAKO ESPERIENTZIAK EXPERIENCIAS DE AULA 6 BIGARREN HEZKUNTZA/ SECUNDARIA y Y ahora un poco más complicado  Si continuamos con el valor de -3 para la X, ¿cuánto crees que nos responderá la calculadora al operar 60 entre 2x? Claramente tenemos una división y una multiplicación , que dado que tienen el mismo nivel de prioridad en la lista de las jerarquías de operaciones (que bien nos hemos aprendido la lista ) debemos operar de izquierda a derecha, ¿o este caso es diferente?  Observa que le ha puesto los paréntesis, que es lo que la calculadora interpreta que queremos hacer. Ya hemos comentado que la multiplicación implícita tiene un nivel superior de prioridad sobre la división y la multiplicación explícita. Vamos bien. Parece que la calculadora y nosotros cada vez nos entendemos mejor. Ya que si realizamos la operación con la multiplicación explícita el resultado es diferente. Otros casos parecidos , pero utilizando la notación natural las dudas quedan resueltas directamente al observar la expresión Hay más casos en los que pueden surgir dudas a la hora de interpretar una operación En este es cuestión de observar cuál es la raya de fracción más larga en la expresión. es lo mismo que traducido En este caso la escritura en una línea nos presenta ventaja, ya que los paréntesis nos indican cuál es la fracción y cuál el divisor  ¡ Vaya sorpresa! ¿Alguien lo entiende? En efecto, otra vez la fracción mixta. No es sencillo, ¿no? En el primer caso ha interpretado 2:(5/x) en el segundo (2/5):x y en el tercero ha visto una fracción mixta, !menuda juerga! Podemos seguir investigando sobre posibles problemas de interpretación. Vamos, animate Pero, ¿qué sucede si lo escribo sin paréntesis? ¿cómo interpretará ? IKASGELAKO ESPERIENTZIAK EXPERIENCIAS DE AULA 7 BIGARREN HEZKUNTZA/ SECUNDARIA Así en este otro caso Última hora Para concluir, y al hilo del problema de los cuatro cuatros que cuentan en el libro "El hombre que calculaba" de Malba Tahan, encuentra una forma matemática para cada una de las 12 cifras del reloj construida a base de cuatro cuatros y operadores matemáticos. Por ejemplo, para �C]Z��+ Incluso se puede llegar a confeccionar un reloj como este que confeccioné con alumnos de 4, proponiendoles el reto de escribir las horas con tres nueves. Otra posibilidad es con la cadena de las nueve cifras ordenadas intercalando operaciones y paréntesis IKASGELAKO ESPERIENTZIAK EXPERIENCIAS DE AULA 8 BIGARREN HEZKUNTZA/ SECUNDARIA formar "la una" , puedo utilizar . Vamos, pruebad vosotros con el resto. Ya que sois un estudiantes de la E.S.O., y para complicar un poco más el reto, si lo habéis logrado, intentad realizarlo con las cifras de los cursos ordenadas, esto es, intercalar entre 1 2 3 4 diferentes operaciones para conseguir los 12 resultados. Y ya puestos, ¿quién lo puede conseguir con las cadenas más cortas? Ya sabes, ahorrar paréntesis, minimizar el número de pulsaciones... Por poner unas soluciones Ildo beretik, gure testuinguruan ere zera adierazi nahi dugu “ginkana” hitza erabiltzen dugunean: ibilbide batean zehar garatzen diren froga anitzak dituen lehiaketa. Froga horiek, gehienetan, taldeka burutzen dira eta mugimendua eta arintasuna eskatzen dute dute.  HAUR eta LEHEN HEZKUNTZA INFANTIL y PRIMARIA Zer dela eta Matematika eta ginkana uztartzea? Helburu nagusia, zalantzarik gabe hauxe da: Matematikarako konpetentzia giro ludiko batean suspertzea. Jakin badakigu, oinarrizko konpetentzia hori ezinbestekoa dela gure ikasleen garapen integralerako. Hortaz, baliabide anitzak erabili behar ditugu ikasle guzti-guztiei kalitatezko heziketa matematikoa bermatzeko.  IKASGELAKO ESPERIENTZIAK EXPERIENCIAS DE AULA 1 LEHEN HEZKUNTZA/PRIMARIA GINKANA MATEMATIKOA Elena Montejo Gasteizko A01 Berritzeguneko aholkularia “Ginakana” hitzaren sorburua guregandik urrun dago, Indian eta Iranen kokatzen baita, hain zuzen ere. Bertako hizkuntzetan, hindieraz eta persieraz, “khana”-k elkartzeko tokia esan nahi du eta “gend”-k pilota. Izan ere, pilota elementu nagusia daukaten kanpoan burutzen diren jolasak ziren.  IKASGELAKO ESPERIENTZIAK EXPERIENCIAS DE AULA Begi bistan dagoenez, Matematikarako konpetentzia ez ezik, gainontzeko konpetentzia guztiak bizkortzen dira jarduera honetan.  IKASGELAKO ESPERIENTZIAK EXPERIENCIAS DE AULA 2 LEHEN HEZKUNTZA/PRIMARIA Talde bakoitzak bere izena aukeratzen du matematikariak edota kontzeptu matematikoak erabiliz. Honek ikerketa xumeak burutzea ahalbideratzen du ginkana aurretik eta giro “guztiz matematikoan” murgiltzen gaitu heterogeneotasuna bermatzeko eta baita taldeen arteko nolabaiteko oreka ere. Ikastetxeen ezaugarrien arabera, gelen arteko edota zikloen arteko ikasleak nahastu daitezke normalean aritzen ez diren beste umeekin lan egiteko. Honek ere motibazioa piztu dezake.  Frogei dagokienez, lehen adierazi den bezala, mugimendua eta praktikotasuna lehenesten dira; beti ere, erronka kognitiboak proposatuz eta lankidetza bultzatuz.  Ginkanari esker, Matematika ikasgelatik ateratzen dugu eta konpetentziaren praktikotasuna zein eguneroko jarduerekin lotura azpimarratzen ditugu. Honekin batera, lankidetza biziki bultzatzen dugu. Hau da, ikasleek bere kideekin eta kideengandik ikastea ahalbideratzen dugu.  Horretarako, irakasleok sortzen ditugu taldeak inklusibitatea eta Eginez eta elkarreraginean ikasten dugulako. IKASGELAKO ESPERIENTZIAK EXPERIENCIAS DE AULA 3 LEHEN HEZKUNTZA/PRIMARIA Laburbilduz, ginkana matematikoak oso formatu malgua eskaintzen du Matematika suspertzeko giro ludiko eta kolaboratiboan. Ikasle guztiek beren egoera pertsonala edozein izanda ere, parte hartu dezakete eta euren ekarpenak egin: “hiperaktiboek”, “atenzio-falta dutenek”, “ahalmen handikoek”, “etorri berriek”, “disruptiboek”, “lotsatiek”, “erritmo motelagoa duztenek”, “arruntek”…  Artikulu honetan agertzen diren argazkietako gehienak Gasteizko Gorbeia Eskola, Ibaiondo eta Divino Maestro ikastetxeetan hartuak izan dira GEOGEBRAREN TXOKOA EL RINCÓN DE GEOGEBRA SIMULACIÓN DEL LANZAMIENTO DE UN DADO Fernando Fouz Asesor de Matemáticas OBJETIVO: Se trata de simular el lanzamiento de un dado el número de veces que queramos mediante un deslizador. Para este proceso, con listas de gran cantidad de datos, GG dispone de dos comandos muy interesantes por su potencia para el análisis de esos datos. Los comandos que vamos a utilizar son: Lista y Secuencia, especialmente este último que, por decirlo así y en mi opinión, es uno de los comandos “estrella” de GG. Por sí sólo, en su formulación y uso básico, ya es potente pero, con combinaciones del comando Expresión que lleva interiorizado, sus potencialidades aumentan exponencialmente. PROBLEMA: Se trata de simular el lanzamiento de un dado mediante un deslizador, construir las secuencias de resultados, reunirlas en listas y a partir de ahí construir las tablas y gráficos de representación de los resultados (frecuencias absolutas y relativas). Comenzamos con la creación de un deslizador “N” y el uso del comando “Secuencia”  Secuencia[ <Expresión>, <Variable>, <Valor inicial>, <Valor final> ] [*] Secuencia[v, v, 1, 6] Que nos genera una lista: lista= {1,2,3,4,5,6} que rebautizamos como: Valores={1,2,3,4,5,6}   GEOGEBRAREN TXOKOA 1 EL RINCÓN DE GEOGEBRA Como la lista extendida es inmanejable debemos contar los 1s, 2es, etc, para establecer las frecuencias absolutas de cada valor. De nuevo el comando “Secuencia” nos va a servir, ahora, acompañado de un comando de recuento de elementos de una lista. Secuencia[CuentaSi[ <Condición>, <Lista> ], <Variable>, <Valor inicial>, <Valor final> ] Secuencia[CuentaSi[m==n, m, Resultados], n, 1, 6] Es decir, obtenemos  Sin embargo, lo que buscamos son las listas de resultados que vamos a obtener al mover el deslizador, para ello, recurrimos al comando “Secuencia”, introduciendo en su formulación el valor del deslizador “N”. Usamos la expresión de [*] eligiendo Así tendremos: Secuencia[AleatorioEntre[ <Mínimo (entero)>, <Máximo (entero)> ], <Variable>, <Valor inicial>, <Valor final> ] Es decir, Secuencia[AleatorioEntre[1,6],n, 1, N] cambiamos el nombre (Resultados) y observamos la VA:  GEOGEBRAREN TXOKOA 2 EL RINCÓN DE GEOGEBRA GEOGEBRAREN TXOKOA 3 EL RINCÓN DE GEOGEBRA De esta manera hemos obtenido la lista de frecuencias absolutas de los valores posibles (de 1 a 6) al lanzar el dado- Movemos “N” y podemos observar los cambios.  Vemos que ya tenemos los dos listados de las frecuencias y, como siempre, movemos el deslizador para observar el funcionamiento. Una vez conocidas, podemos expresar los resultados en tablas y en gráficos estadísticos. Como la distribución es discreta conviene elegir bien las barras para no dar la idea de distribución continua. El programa nos ofrece el siguiente comando: TablaFrecuencias[ <Lista de datos brutos>, <Factor de escala (opcional)> ] El siguiente paso es calcular la lista de frecuencias relativas que son las que nos acercarán al concepto de probabilidad. Como el número total de ensayos es “N”, debemos buscar un comando que nos permita dividir, cada una de las frecuencias absolutas, por “N” y obtener una nueva lista. Visto lo anterior, podemos imaginar que, el comando “Secuencia” deberá incorporar a ese nuevo comando. La idea es que, debemos extraer de la lista de FrecAbs cada elemento y dividirlo por “N”. A la nueva lista la llamaremos “FrecRelat”. Hacemos los siguiente: Secuencia[Elemento[ <Lista>, <Número (posición)> ], <Variable>, <Valor inicial>, <Valor final> ] Que para nuestro caso es: Secuencia[Elemento[ FrecAbs, i]/N, i, 1, 6]  Para hacer la tabla de frecuencias relativas es cuando podemos utilizar el “factor de escala” antes citado. Pasar de frecuencias absolutas a relativas, consiste en dividir por el número de ensayos o, lo que es lo mismo, en reducir la escala de valores a la N-ésima parte. Hacemos: TablaFrecuencias[Resultados, 1/N]  Que presenta el hecho curioso de que, el segundo término, lo podemos utilizar o no. En principio no lo usaremos y, luego sí, para observar su utilidad: TablaFrecuencias[Resultados] Lo que va a hacer es contar cuántas veces ha salido el 1, luego el 2 , etc, etc Obtenemos:  GEOGEBRAREN TXOKOA 4 EL RINCÓN DE GEOGEBRA La recta horizontal en rojo, y=N/6, nos sirve de referencia la frecuencia absoluta “esperada”. Hacemos el mismo proceso con las frecuencias relativas: Barras[Valores, FrecRelat, 0.2]  GEOGEBRAREN TXOKOA 5 EL RINCÓN DE GEOGEBRA Movemos de nuevo el deslizador y observamos los resultados. Para acabar dibujamos los diagramas de barras para ambas tablas. Tenemos varias opciones de comando. Elegimos una: Barras[ <Lista de datos>, <Lista de frecuencias>, <Ancho de barras> ] Barras[Valores, FrecAbs, 0.2]  Obtenemos:  GEOGEBRAREN TXOKOA 6 EL RINCÓN DE GEOGEBRA EJEMPLOS HECHOS Para ver las posibilidades que nos ofrece Geogebra a la hora de trabajar estos temas con los alumnos, sirvan como botón de muestra los dos ejemplos que se describen a continuación: 1.- Análisis de datos Experimento: lanzamiento de un dado 40 veces. Donde se puede ver cómo se construyen las tablas de valores con frecuencias absolutas, relativas, diagramas de barras y cálculo de media, varianza y desviación típica. Aquí se permite modificar el número de tiradas del dado y seguir el proceso de construcción de las tablas y cálculo de los parámetros. 2.-Ruleta Aquí se podrá seleccionar el número de regiones que tiene la ruleta (entre 2 y 6) y pulsando el botón “Gira la ruleta” cuantas veces quieras, irán apareciendo los resultados del experimento: sus frecuencias absolutas, relativas y diagrama de barras. En la ventana de la derecha se podrá fijar un número global de tiradas (por ej.:100) para que el programa obtenga los 100 resultados aleatorios y nos presente: frecuencias absolutas, relativas y diagrama de barras (n<150).  En este caso, hay que modificar las unidades del eje vertical y, la recta de referencia, sería y=1/6. Que es la frecuencia de estabilización que nos da el valor de la probabilidad de cada suceso (sacar 1, sacar 2, etc., ... ) La interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto es, sin duda, uno de los contenidos claves de las matemáticas del Bachillerato. Siempre la hemos explicado desde una imagen estática, dejando a la imaginación de nuestro alumnado la comprensión mental del movimiento del punto sobre la gráfica. Más o menos utilizamos una gráfica como la que ahora mostramos: INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Fernando Fouz GEOGEBRAREN TXOKOA 7 EL RINCÓN DE GEOGEBRA Los elementos que en la gráfica intervienen son: la curva que representa la función f(x) (en verde). El punto “A” donde queremos calcular la recta tangente y el punto “C”, correspondiente al incremento de “x”. El segmento AC, que es la cuerda a la curva entre Sin embargo, podemos “darle vida” a la imagen y, poder así, visualizar la variación de los dos ángulos, el segmento sobre la curva y la recta tangente. A su vez, la posibilidad de escribir textos dinámicos (numéricos o literales) nos permite comprobar las variaciones numéricas y, sobre todo, su tendencia (límites). La siguiente construcción con Geogebra nos da esas utilidades. Lo puedes ver aquí GEOGEBRAREN TXOKOA EL RINCÓN DE GEOGEBRA GEOGEBRAREN TXOKOA 8 EL RINCÓN DE GEOGEBRA esos dos puntos y la recta tangente (color fucsia) a la curva en “A”. El ángulo de la cuerda con la horizontal es “α” y “β” el que forma la recta tangente también con la horizontal. Δx_1 (que coincide con Δx ) es el incremento de la abscisa cuando lo usamos como deslizador y Δy_t es el incremento de la ordenada de la recta tangente al pasar la función de “A” a ”B” Su vida  Nicolai Ivanovich Lobachevski nació el 1 de diciembre de 1792 en una pequeña localidad rusa llamada Nizhny Novgorod, muy cerca de la populosa ciudad de Kazán. Cuando tenía siete años murió su padre, y ese mismo año su madre trasladó la residencia a Kazán, en busca de mejores horizontes para sus tres hijos. LOBACHEVSKI: EL COPÉRNICO DE LA GEOMETRÍA Santiago Fernández Asesor matemáticas del Berritzegune Nagusia “Vivir es sentir, gustar la vida, ensayar constantemente algo nuevo que recuerde que vivimos...nada estorba tanto a la plenitud de la vida como la ignorancia..." Lobachevski.  Lobachevski fue un célebre matemático ruso del siglo XIX, creador de una de las geometrías No-euclideanas, la geometría hiperbólica, honor que ha compartido con el húngaro J. Bolyai y el genio alemán F. Gauss. Desempeñó el cargo de rector de la Universidad de Kazán durante dos décadas y fue un trabajador infatigable. En palabras de Clifford, Lobachevski era bastante más que un matemático, calificándole de “el Copérnico de la geometría". Pero la Geometría es sólo una parte más del amplio campo que renovó.  HISTORIARI SO 1 MIRANDO A LA HISTORIA HISTORIARI SO MIRANDO A LA HISTORIA En el año 1811, Lobachevski recibió el título de Licenciado en Física y Matemáticas. Al tener un expediente brillante, con notas sobresalientes en la mayoría de las asignaturas, fue propuesto para el grado de maestro, de manera que a punto de cumplir los 19 años, Lobachevski ya era docente de la Universidad de Kazán. Con sólamente 21 años, es nombrado profesor adjunto de física y matemáticas. Ese mismo año, el profesor Bartels fue elegido decano de la facultad Físico-Matemática de Kazán.  HISTORIARI SO 2 MIRANDO A LA HISTORIA Como resultado de una de las múltiples reformas del emperador Alejandro I, se fundó en 1804 la Universidad de Kazán, y abrió sus puertas un año más tarde. Era, por tanto, una Universidad joven cuando Lobachevski comenzó sus estudios. La necesidad de nuevos profesores llevó a los responsables de la Universidad a contratar a docentes de un cierto prestigio. En el año 1808, tomó posesión de la cátedra de matemáticas el profesor alemán M.F. Bartels(1769-1833), matemático de primer orden y un excelente pedagogo (Bartels conocía personalmente al célebre F.Gauss, con el cual había coincidido en Brunswick). Como hábil profesor, Bartels, pronto conectó con Lobachevski y le hizo interesarse por temas relacionados con la historia de las matemáticas. Es muy probable que el interés de Lobachevski por el problema de las Paralelas fuera estimulado a raíz de los cursos impartidos por Bartels.  Pocos años antes –en 1798- se había inaugurado en Kazán el único centro oficial no religioso, el Gimnasium, en el que los jóvenes se preparaban, a fin de ingresar en la afamada Universidad de Moscú o en la prestigiosa Academia de las Ciencias de San Petersburgo. En el año 1802, comienza sus estudios en el Gimnasium. La vida escolar allí era extremadamente severa. Sin embargo, en este ambiente hostil y lúgubre, Nicolai encontró un joven profesor de matemáticas muy motivador (G.I. Kartashevski), persona interesada por la ciencia en general y por las matemáticas en particular. Kartashevski, dictaba sus cursos basándose en las grandes obras de la época, y especialmente utilizaba el libro " Eléments de géométrie" del ilustre matemático francés A. M. Legendre(1752-1833), publicado en el año1794. Se puede decir que tanto las enseñanzas de este libro como su autor, tuvieron una repercusión muy notable en los trabajos de geometría de Lobachevski. En 1807 finalizó brillantemente sus estudios en el Gimnasium y se incorporó a la Universidad de Kazán. Con tan sólo quince años, Nicolai ya era capaz de leer memorias científicas en varios idiomas: francés, alemán y latín.   El nuevo cargo de Lobachevski supuso más responsabilidad y nuevos requerimientos para su persona. Además, la nueva categoría profesional le obligó a dar una serie de cursos y conferencias sobre diversos temas: Algebra, Aritmética, Trigonometría, Geometría, Teoría de Números, Cálculo Diferencial e Integral. En todos los casos, Lobachevski, se esmeró en preparar con sumo cuidado el contenido de los mismos para que sus alumnos comprendieran la materia. Su método de enseñanza fue motivo de agudas reflexiones durante muchos años. Posteriormente dejaría plasmadas en un famoso artículo, sus revolucionarias e innovadoras ideas al respecto. En julio de 1816, Lobachevski (sólo tenía 24 años) a petición del profesor y compañero Bartels fue nombrado profesor extraordinario. A raíz de la fundación de la Santa Alianza, la vida intelectual en el Imperio Ruso se volvió insoportable El profesor Bartels, viendo el panorama que se cernía sobre la Universidad aceptó, en el año 1820, una oferta para dar clases en la Universidad de Dorpat. Con la marcha de Bartels quedó vacante el puesto de Decano de la Facultad de Física y Matemática. Para cubrir dicho cargo fue propuesto Lobachevski, a pesar de que sólo era profesor extraordinario.   HISTORIARI SO 3 MIRANDO A LA HISTORIA De repente, Lobachevski se convirtió en la piedra angular de su Facultad. Su valía fue también reconocida en otros estamentos universitarios; se le requirió para la mayoría de los proyectos docentes y administrativos, entre ellos clasificar la enorme biblioteca central de la Universidad, que en aquellos momentos ya disponía de unas decenas de miles de libros, manuscritos y códices, por cierto, completamente desordenados. HISTORIARI SO 4 MIRANDO A LA HISTORIA Se le nombró miembro del comité de construcción de los edificios universitarios, labor que consistía en poner en marcha las diversas construcciones que se erigieran por esa época en la Universidad. Además, organizó el laboratorio de Física y la compra de nuevos materiales para el laboratorio y participó en el proyecto de la construcción de un observatorio astronómico, que posteriormente él mismo utilizaría. Fue nombrado redactor de una revista surgida en el seno de la Universidad y que posteriormente se la denominó "Memorias de la Universidad de Kazán". Formó parte del comité encargado de dirigir y controlar la actividad docente de todos los centros educativos del distrito de Kazán. Cualquiera de esas labores eran de por sí suficientes para una persona normal; sin embargo, Lobachevski parecía multiplicarse. Sin duda, se convirtió en el personaje central de la Universidad, todo el mundo le estimaba y reconocía su valía. Pero lo más notable es que fuera capaz de no olvidar las matemáticas, de seguir estudiando, investigando, escribiendo, impartiendo clases, etc. El año 1826 tomó el poder el zar Nicolás I e introdujo un régimen más tolerante. Con ánimo de impulsar y renovar la vida universitaria el nuevo protector universitario convocó elecciones a rector. Lobachevski presentó su candidatura, y después de una votación muy favorable para él, fue elegido. Tenía sólo 33 años y la tarea que se le avecinaba era compleja. Por delante le esperaban grandes retos: mejorar los recintos de la Universidad, construir nuevos edificios, ordenar y proveer la biblioteca, acondicionar los distintos laboratorios, comprar materiales para el observatorio, construir una nueva clínica, contratar más y mejores profesores, crear un buen ambiente universitario, etc. La primera tarea que afrontó Lobachevski, en el cargo como rector, fue rebajar la tensión que existía entre los profesores. Las reuniones del Consejo que antes eran ruidosas y poco planificadas, se desarrollaban ahora con total normalidad y dentro de un clima constructivo. También se preocupó por mejorar la vida universitaria de los estudiantes; estos participaban en los estamentos universitarios y su voz tuvo eco. Un año después de tomar posesión como rector de la Universidad de Kazán, Lobachevski pronunció un discurso que supuso una gran conmoción por su frescura de ideas, independencia, y progresismo, publicado en 1832 en el “Noticiero de Kazán” con el título :“Sobre las materias de la educación social”. Lobachevski ocupó durante 19 años el cargo de rector de manera ininterrumpida.   HISTORIARI SO 5 MIRANDO A LA HISTORIA A punto de cumplir los 40 años, en el año 1832, Lobachevski contrajo matrimonio con Varvara A. Moiséeva, con la que tuvo siete hijos. La dilatada vida universitaria de Lobachevski finalizó en el año 1846, después de 30 años de servicio como profesor de la Universidad. Tras jubilarse (esencialmente fue destituido de sus cargos), le fue ofrecido el puesto de ayudante del protector educativo de la región de Kazán, cargo que desempeñó con decoro pero sin ninguna influencia en la vida docente. Coincidiendo con su salida de la Universidad, su mujer cayó gravemente enferma y al poco tiempo su hijo mayor murió de tuberculosis. Esta conjunción de desgracias, unido al hecho de que estaba quedándose ciego, por una precoz esclerosis, hicieron que su salud se debilitara rápidamente. Sus últimos años en los que se sentía abandonado y enfermo, debieron ser muy penosos para él. El 2 de febrero de 1856, Lobachevski falleció en Kazán.  Su obra  Parar entender sus aportaciones es necesario explicar, aunque sea brevemente, el más célebre de los postulados de la matemática. Como sabemos, el quinto postulado es una de las piedras angulares sobre la que descansa la grandeza de los Elementos de Euclides. Pero también ha sido la causa de los más duros ataques a su sistema geométrico. Los cuatro postulados que lo preceden son enunciados sencillos y cortos, mientras que el quinto es más enrevesado, su lectura nos da idea de una proposición más que de un postulado. Es muy posible que el mismo Euclides tuviera, inicialmente, esa misma sensación. De hecho, la ordenación de sus proposiciones, así como la demostración que hace del recíproco del quinto postulado, nos hace pensar en esta posibilidad.   Un nuevo rumbo geométrico  Lobachevski recorrió una nueva senda: estudió las consecuencias que tenía, respecto a la geometría, el hecho de que no se cumpliera necesariamente el quinto postulado. Una de sus obras principales, en la que se muestra este nuevo espíritu geométrico, Geometría (1823) fue severamente criticada por el académico ruso N.I.Fuss(1755-1826). En honor a la verdad, su Geometría resultó muy atrevida para su época, y posiblemente el académico Fuss no comprendió el trasfondo de un planteamiento tan novedoso y rupturista. La disposición de los distintos capítulos llama poderosamente la atención. Los primeros cinco capítulos se redactan sin utilizar para nada el famoso quinto postulado. Desde el punto de vista histórico, este hecho es fundamental, ya que es la primera persona que trata de manera consciente la Geometría Absoluta (aquella que no depende del quinto postulado, sino únicamente de los cuatro primeros) Posiblemente influido por la filosofía expresada por D’Alembert(1717-1783), se inclina por un “tratamiento métrico". Lobachevski se da cuenta de que la medida de ángulos y de los segmentos no depende del quinto postulado, mientras que la medida de las áreas tiene estrecha relación con el famoso quinto postulado. Por esta razón, el aspecto de cálculo de áreas de diversas figuras no es abordado hasta bien avanzado el libro.  Las situaciones derivadas al tratar de demostrar el quinto postulado, en función de los otros cuatro, dieron lugar a un gran enredo intelectual que se conoce como el Problema de las Paralelas. Si bien los fracasos por demostrarlo fueron agrandando más y más la figura de Euclides, también condujeron a la invención de nuevas geometrías. Para intentar solucionar este conflicto se hicieron dos tipos de intentos: el primero consistió en sustituir el quinto postulado por otro enunciado más evidente, mientras que el segundo se centró en deducirlo de los otros cuatro y de los teoremas o proposiciones que se iban construyendo La primera de las opciones ha dado lugar a postulados sustitutivos. Merece la pena recordar el enunciado por el matemático escocés J. Playfair(1748-1819)  “ Por un punto P, exterior a una recta l se puede trazar una única recta que pasa por el punto P y que no corta a la recta l “  HISTORIARI SO 6 MIRANDO A LA HISTORIA En el tratamiento que realiza de la teoría de las paralelas ya se pueden reconocer breves trazos de sus ulteriores trabajos. En efecto, en el trabajo presentado, Lobachevski intenta demostrar el postulado de las paralelas a la inversa de la manera que fue enunciado por Playfair.   Lobachevski, a partir de una hipótesis tan absurda comienza a deducir resultados, con la intención de encontrar alguna contradicción. Curiosamente construye un raro, pero armonioso, edificio geométrico que él llama Geometría imaginaria, y que actualmente llamamos Geometría hiperbólica o de Lobachevski HISTORIARI SO 7 MIRANDO A LA HISTORIA Esto es, supuso que por un punto P no situado en la recta AB pasan, en el plano, más de una recta no secante con AB, tal como muestra el dibujo.  Si bien el texto no llegó a publicarse hasta años más tarde, fue sin duda, la semilla de sus investigaciones geométricas posteriores. A pesar de las severísimas críticas recibidas, siguió trabajando y profundizando en la teoría de las paralelas. Tres años más tarde, el 11 de Febrero de 1826, en una reunión de la Facultad Físico-Matemática, Lobachevski presentó un informe de cara a conocer la opinión de sus colegas profesores, respecto a sus investigaciones geométricas. Dicho informe llevaba como título ”Expositiòn succinte des principies de la gèometrie avec une dèmonstration rigoureuse du thèoréme des parallèles”(1826) en él se expresaban buena parte de sus revolucionarias ideas. Para sopesar el informe se reunieron en comisión tres profesores de la Universidad, quienes adoptaron la decisión de valorar negativamente la publicación de su trabajo. Nuevamente Lobachevski era vilipendiado. Si bien el trabajo no se editó, sí estamos en condiciones de hablar de su contenido, ya que tres años más tarde, el mismo Lobachevski publicó en la revista “El mensajero de Kazán, una memoria titulada “Acerca de los principios de geometría”(1829). Esta memoria es compleja y difícil de leer, pero podemos señalar tres partes diferenciadas: La primera se centra en el estudio de la llamada Geometría Absoluta; en realidad es un resumen su”Geometría” presentada el año 1823 y que tan mal acogida tuvo. La segunda parte expone el contenido de su “Exposition succinte.....” A lo largo de muchas páginas se dedica a estudiar y obtener el ángulo de paralelismo, que él llama Π(a).  HISTORIARI SO 8 MIRANDO A LA HISTORIA El dibujo nos indica que la recta AB es paralela a las rectas p y q, pasando por el punto C. Siendo el ángulo que forman dichas rectas paralelas en el punto C, dónde ‘a’ expresa la distancia del punto C al D. El ángulo de paralelismo fue estudiado por Lobachevski con suma atención, después de un estudio analítico de funciones llega a la conclusión que el ángulo de paralelismo se puede obtener mediante una función del tipo  La función de Lobachesvski Al igual que los estudios realizados por Lambert, Taurinus, Gauss y tantos otros, aparece en la fórmula del ángulo el valor K ¿qué significa K?  “teóricamente K puede tener cualquier valor, cada uno de los valores de la constante K le corresponde una geometría imaginaria .....no hay una sola geometría imaginaria ; existe un número infinito de variedades correspondientes a los diversos valores de la constante K. Entre ellas, la vieja geometría euclidiana corresponde al caso límite (cuando K tiende a infinito). (Lobachevski)   La última parte del libro está dedicada a la medida de longitudes, áreas y volúmenes. El estudio se hace mediante procesos de integración. Además muchos de los cálculos los realiza por varios procedimientos para verificar que las operaciones coinciden. Este hecho le reafirmaba en su convicción de que la geometría que estaba edificando era correcta desde un punto de vista lógico. En 1832, siendo Lobachevski rector de la Universidad, el Consejo de la Universidad de Kazán, pidió a la Academia de Ciencias de San Petersburgo, un informe "Acerca de los principios de geometría”. La Academia encargó el trabajo al académico M. V.Ostrogradski, que después de estudiarlo hizo la siguiente crítica verbal:  ”... después de haber estudiado una obra del rector Lobachevski, tengo que observar que: la obra está redactada con tan poco cuidado, que una gran parte es ininteligible. Por eso estimo que dicha obra de Lobachevski no merece la menor atención de la Academia ". HISTORIARI SO 9 MIRANDO A LA HISTORIA A Lobachevski le debió molestar enormemente la crítica tan ofensiva del académico ruso. Por lo que nuevamente hizo un gran esfuerzo por explicarse mejor. Con esta intención publica una memoria titulada “Geometría imaginaria”(1835), continuando el año siguiente con “Aplicación de la geometría imaginaria a algunas integrales”(1836). En realidad estas memorias, publicadas en Memorias de la Universidad de Kazán, no aportaban nada nuevo a sus trabajos anteriores, pero al disponer de más espacio Lobachevski pudo explicar mejor los procesos, siendo sus cálculos más entendibles. La obstinación de Lobachevski le llevó a redactar una y otra vez sus trabajos desde diferentes ópticas, él era consciente de que sus escritos no eran sencillos de leer: su concisión, la originalidad de sus planteamientos, las consecuencias derivadas de su teoría y el escribir en contra del pensamiento geométrico establecido (defendido por el filósofo alemán I. Kant) le llevó a redactar un tratado crucial: “Geometrishe Untersuchungen zur theorie der parallellinien”(1840) Por medio de este pequeño librito, escrito en alemán, la comunidad matemática toma contacto con las revolucionarias ideas geométricas de Lobachevski. Este escrito debió impresionar tanto a F.Gauss que en noviembre de 1842 propuso la candidatura de Lobachevski, para que fuera nombrado miembro de la Sociedad Científica de Göttingen, que ya entonces tenía el rango de Academia. Sin duda este reconocimiento por parte del mejor matemático vivo, fue la consagración de sus teorías geométricas.   Escultura ded icada a N.I. El trabajo de Lobachevski en temas no relacionados directamente con la geometría es también muy sugerente. Su pasión por las matemáticas le llevó a interesarse por otras muchas partes de las mismas. Exponemos aquí un listado, de algunos trabajos no geométricos, publicados entre los años 1823 y 1852 : “ Acerca de la convergencia de las series trigonométricas” (1834), “Sur la probabilité des resultats moyens,tirés des observations répétées”(1842)” ,“Acerca de los valores de algunas integrales definidas”(1852). Pero sin duda su obra no geométrica más importante, tanto por su contenido como por su extensión, fue el tratado de Álgebra ( 1834) manual muy original; de hecho Lobachevski fue reconocido en su época por el contenido de este libro más que por sus investigaciones geométricas. Para finalizar diremos que un año antes de su muerte se celebraba el cincuentenario de la fundación de la Universidad de Kazán, por ese motivo invitaron a Lobachevski a escribir un artículo sobre sus investigaciones geométricas. A pesar de estar enfermo e impedido visualmente, aún tuvo ánimos para escribir su última obra titulada “ Pangeometría”(1855 en ruso).  Conclusiones y consecuencias Lobachevski fue el primero que se percató de que el quinto postulado de Euclides no podía deducirse de las otras proposiciones fundamentales de la geometría y se atrevió a negar la "verdad evidente" de ese postulado. Con su trabajo, mostró no sólo que el postulado quinto es indemostrable sino algo aún más importante: que desde un punto de vista estrictamente lógico, se pueden concebir varias geometrías, entre ellas se encuentra la vieja geometría de Euclides. Las ideas de Lobachevski no fueron aceptadas de inmediato; ideas tan radicales, que chocaban con los prejuicios de casi todos los científicos, no habrían de anclarse fácilmente como parte de la Ciencia. Sin embargo, Lobachevski defendió sus ideas convencido de que sus trabajos eran correctos. No vaciló en luchar contra la mentalidad dominante de la época, a la que consideraba caduca e incompatible con el progreso de la Ciencia. Pangeometria de Lobachevski HISTORIARI SO 10 MIRANDO A LA HISTORIA HISTORIARI SO 11 MIRANDO A LA HISTORIA El nacimiento de las geometrías No-Euclidianas planteó la pregunta sobre cuál de las geometrías describe de la mejor manera posible el mundo físico, iniciándose uno de los períodos dorados en la interacción entre las matemáticas y la física. En el debate participaron las mejores mentes del siglo XIX : Riemann, Poincaré, Klein, Poincaré, ... hasta el mismo Einstein. A mediados del siglo XIX apareció un nuevo principio general de qué es lo que se puede entender por una Geometría. Esta idea fue expuesta por Riemann en el año 1854 en una conferencia titulada “Sobre las hipótesis que yacen en los fundamentos de la Geometría”(1867). Riemann, puede ser considerado el nuevo Euclides. Su contribución no se refiere sólo al campo de la geometría, el estudio general de la métrica de espacios curvos allanó el camino en ultima estancia para la relatividad general. Bibliografía Fernández, S. (2004); Lobachevski. Nivola.Madrid Gray,J.J.(1992) ; Ideas de espacio. Mondadori. Madrid GURE OLINPIADAK 1 NUESTRAS OLIMPIADAS Lehen aldian, 99 ikastetxetako 3.100 neska-mutil inguruk parte hartu zuten, Arabako 21 ikastetxe, Bizkaiko 48 eta Gipuzkoako 30. 2016ko maiatzaren 15ean, hiru hiriburuetan olinpiadaren azken fasea ospatu zen, Donostiako Usandizaga-Peñaflorida-Amara BHI, Bilboko Miguel de Unamuno BHI eta Gasteizko Los Herrán BHI egoitzak izanez. Guztira, 238 neska-mutil lehiatu ziren. Olinpiadan balorazio altuena eskuratu zuten 12 ikasleak, euren familiak eta ikastetxeetako OLINPIADA MATEMATIKOAK, 2015/2016 IKASTURTEAN Ana Fdez. de Betoño Gasteizko A02ko aholkularia Aurreko buletinean aipatu genuen bezala, EMIE 20+11 elkarteak antolatutako jarduera ezagunen eta sendotuenak “Eduardo Chillida” deituriko olinpiada matematikoa, 2. DBHko ikasleei zuzenduta, eta 6. mailako ikasleentzako Arabako Olinpiada Matematikoa dira.   GURE OLIMPIADAK NUESTRAS OLIMPIADAS XIV. Eduardo Chillida Olinpiada Matematikoa ordezkariak lagunduta, Gasteizko Eusko Jaurlaritzaren egoitzan ekainaren 10ean ospatutako sari emanaldira joateko deituak izan ziren.   Sariak banatu ondoren, Santiago Fernández irakasleak bere jakituriaren partaide egin gintuen eta “A hombros de gigantes” hitzaldiari esker, matematikaren historiaren berri eman zigun.  Askartza Claret Ikastetxea, Leioa San Bizente Ikastola, Oion Kirikiño Ikastola, Bilbo B.V. M Irlandesas Ikastetxea, Leioa Lizardi BHI, Zarautz Lakua BHI, Vitoria-Gasteiz Usandizaga-Peñaflorida BHI, Donostia Mungia BHI, Mungia Niño Jesús Ikastetxea, Vitoria-Gasteiz Antigua-Luberri BHI, Donostia Berriz BHI, Berriz El Salvador Ikastetxea, Bilbo GURE OLINPIADAK 2 NUESTRAS OLIMPIADAS Ondoan agertzen dira saridunak eta euren erreferentzizko ikastetxeak:  Jon Pineda Lezamiz Ainara González Urkola Lili Adela Aldekoetxea Lz Linares Juan Felipe Páez Gaona Joritz Urbieta Argota Sara Hernández Bares June Azpiazu Nosellas Laura De Los Ríos Alonso Alejandro Fdez de Luco Villaran Nerea Mangas Legorburu Asier Aranoa Eriz Laura García Cornejo Saritutako hiru lehenek, Jon, Ainara eta Lilik, Ekainaren 22tik 26ra, Santanderren ospatutako XXVII. Olinpiada Matematiko Nazionalean parte hartu zuten. Edizio horretan, Cantabria ezagutu eta etxera oroitzapen ezin ahaztuekin bultzatzeaz gain, Ainarak taldeko Arantza Aurrekoetxea Hezkuntza sailburuordeak XIV. Eduardo Chillida Matematika Olinpiadaren sariak banatu zituen. Sari banaketan lagun izan zuen sailburuordeak, Hezkuntza Berriztatzeko zuzendari Begoña Garamendi, argazkian ikusten den bezala.  Inork jarritako banakako probak eta euren emaitzak ezagutu nahiko balitu, esteka honetan aurki ditzake. Jadanik, 2016/17 ikasturte honetako XV. Eduardo Chillida Olinpiadari buruzko informazioa jaso da ikastetxeetan. Lehen aldian, Ikastetxe bakoitzean 2 edo 3 ikasle hautatuko dira, epea martxoaren 31ra arte da. Bigarren aldia, ordea, hiru hiriburuetan ospatuko da, lehen aipatutako institutuetan. Guztira, Euskadiko 99 ikastetxek parte hartzen ohi dute, bai publikok bai itunpekok. Bigarren aldia, maiatzaren 13an ospatuko da, aipatutako ikastetxeetan. Helburuen gaineko informazio guztia, oinarriak, egutegia, aurreko edizioetan proposatutako problemak, etab. web-orrian ikus daitezke: http://berritzegunenagusia.eus/mateolinpiada/ Aurtengo XXVIII. Olinpiada Matematiko Nazionala Castilla-Leónen ospatuko da, Valladoliden hain zuzen, eta, matematikarekin lan egiteaz gain, autonomia-erkidego hori ezagutzea espero dugu.  GURE OLINPIADAK 3 NUESTRAS OLIMPIADAS argazki matematikoaren lehiaketaren saria jaso zuen. Argazkian agertzen dira Georg Cantor taldearen partaideak: Iván Carballo Romero (Cantabria), Jorge Chapero García (Principado de Asturias), Ainara Gonzalez Urcola (Euskadi), Ana González López (Andalucía) eta Manuel Sánchez Yáñez (Galicia)  Olinpiada hau Arabako EMIE 20+11 elkartearen batzordea osatzen dugun DBH eta LHko irakasleok antolatzen dugu eta aipatu beharra dago, olinpiada gaztea izan arren, oso arrakastatsua izaten dela. Aurreko buletinean aipatzen genuen bezala, Arabako LHko ikastetxe guztietara bidaltzen da deialdia eta, jaso bezain pronto, ikastetxeen erantzuna berehalakoa da. Berriro, gure esker ona bidali nahi diegu irakasleei eta familiei, euren partaidetza eta laguntzagatik.  2. LHko 6. mailako ikasleentzako Arabako VI. Olinpiada Matematikoa 2015/16 ikasturtean, Arabako VI. Olinpiada Matematikoa ospatu zen. Lehen aldian martxoaren 11n ospatu zen ikastetxeetan bertan. Fase horretan parte hartzeko 33 ikastetxek izena eman zuten. Azken aldia maiatzaren 21n burutu zen Gasteizko Los Herrán institutuan. Argazkian ikusten dugu Alberto Bagazgoitia harrera egiten eta irakasle antolatzaile eta laguntzaileak zain.  GURE OLINPIADAK 4 NUESTRAS OLIMPIADAS Goizean zehar, banakako eta taldeko probak egin genituen, lan-giroa gaindiezina izanik, hurrengo arkazkietan ikusten den bezala:  2. sailkapena Becerra Torralba, Gorka (Paula Montal-Escolapias Ikastetxea) Echanojauregui Ripa, Uxue (Toki Eder Ikastola) González de Etxabarri Esteban, Jon (Sagrado Corazón-Carmelitas Ikastetxea) Martínez García, Isabela (Umandi Ikastola) Ruiz de Alegria Garcia-Echeberria, Ane (Nazaret Ikastetxea ) Goizari bukaera emateko, Blanca Guerrerok, Arabako Hezkuntza delegatuak, Elena Montejo EMIE 20+11ko idazkariarekin batera, hurrengo sariak banatu zituen:  BANAKAKO PROBAKO IRABAZLEAK (ALFABETIKOKI ORDENATUTA)  1. sailkapena Cantorna González, Leire (Adurtza Ikastola) Fernández de Ocariz Irureta, Irati (Odon de Apraiz Ikastola) Goirizelaia Martín, Unai (Ikasbidea Ikastola) Pelegrín Gómez, Hugo (Sagrado Corazón-Corazonistas Ikastetxea) Saldaña Escudero, Arrieta (Olabide Ikastola) GURE OLINPIADAK 5 NUESTRAS OLIMPIADAS SOFIA KOVALEVSKAYA TALDEA Larrea Rodríguez, Iñigo (Arantzabela Ikastola) Mateo Sicilia, June (Arantzabela Ikastola) Peciña Larraina, Markel (Arantzabela Ikastola) Bueno, Nicolás (San Prudencio Ikastetxea) Saez de Vicuña Miranda, Berta (San Prudencio Ikastetxea) Garreta Olivenza, Rodrigo (San Prudencio Ikastetxea)  GURE OLINPIADAK 6 NUESTRAS OLIMPIADAS EDNA PAISANO TALDEA Echanojauregui Ripa, Uxue (Toki Eder Ikastola) Fernandez de Aranguiz Vidaurre, Laura (Toki Eder Ikastola) Lacalle Diaz, Iker (Toki Eder Ikastola) Loyo Cabezudo, Aitor (Umandio Ikastola) Loyo Angulo, Ane (Umandio Ikastola)Martínez García, Isabela (Umandio Ikastola) TALDE-PROBAKO IRABAZLEAK ADA LOVELACE TALDEA Cantorna González, Leire (Adurtza Ikastola) Clemente Aguado, Mohai (Adurtza Ikastola) Segurola Tejado, Egoitz (Adurtza Ikastola) Becerra Torralba, Gorka (Paula Montal-Escolapias Ikastetxea) Pérez Parejo, Sara (Paula Montal-Escolapias Ikastetxea) Reyero Fernández de Aguirre, Nahia (Paula Montal-Escolapias Ikastetxea) Hurrengo buletinean ikasturte honetako olinpiadei buruzko informazioa izango duzue.  GURE OLINPIADAK 7 NUESTRAS OLIMPIADAS Jadanik, Lehen Hezkuntzako 6. mailako Arabako VII. Olinpiada Matematikoa martxan dago. Izena emateko epea martxoaren 10era arte izango da eta hasierako fasea, ikastetxeetan bertan ospatzen dena, martxoaren 24an. Egun horretarako, parte hartzen duten ikastetxeek proposatutako proba jasoko dute, hiru ikasle aukeratzen lagunduko duena. Azken fasea maiatzaren 20an ospatuko da eta, aurreko edizioetan bezala, matematikarekin lan egiteaz gain, oso ondo pasatzea espero dugu.  ÉMILIE DU CHÂTELET TALDEA Alonso Ugarte, Uxue (Lucas Rey) Iturbe Rey, María (Lucas Rey) Martínez Llano, Ayae (Lucas Rey) Fernández Sáez, Pablo (CEU Virgen Niña) García Elvira, Marta (CEU Virgen Niña) Ortiz de Pinedo Arrieta, María (CEU Virgen Niña)  Problemen ebazpena da, adituek aspaldi eta maiz gogoratu digutenez, Matematikaren muina; eta bizitzarena gehituko genuke,.   Problemen ebazpenetan aritzea da, gainera, bide bakarra aditua bihurtzeko, problemen ebazpenari ekitea, alegia; eta hemen inon baina argiago ulertu daiteke Galileo Galileiri egokitzen zaion esaldia:    Egin Matematika, Jose Luis Ramosen bloga: https://goo.gl/IJ3G5i Problemen munduan murgiltzeko problema anitzak, sortak, ikastaroak eta OPEetakoak. Sigma aldizkaria eta 10. alea, Santiago Fernándezek urteetan argitaratutako aldizkaria: https://goo.gl/DjXCk6 Artikulu asko Problemen ebazpena sustatzeko grinarekin sortuak. Txerraren sitea Problemen ebazpenerako LHn: https://goo.gl/ojDjIa LHn gure Erkidegoan erreferentziazko baliabideak eta Txerraren siteen odeiaren atal bat baino besterik ez, Problemak atala, Jose Ramon Cenigaonaindia ren sitean: https://goo.gl/TtEKyW Problemen ebazpenaren gaineko ausnarketa eta ebazpen estrategien adibideak. Problemak ebazten artikulua eta sitea, Eibarko mintegikideen eskutik: https://goo.gl/FPGl51 eta https://goo.gl/crNiur Problema ebatziak eta DBHrako mailakatuak. DOZENA BAT BALIABIDE MATEMATIKA IKAS-IRAKASTEKO José Manuel López Irastorza Berritzegune Nagusia BALIABIDEAK RECURSOS https://goo.gl/CJSpNz  BALIABIDEAK 1 RECURSOS “Ezin diogu irakatsi ezer inori; bere kabuz deskubri dezan lagundu baino ezin dugu egin” Eta honakoa duzue Problemetan aritzeko baliabideen zerrenda; ohi dugunez gertuagoetatik hasita baina hemendik eta handik porrusalda goxoan bilduak. Hona hemen bada problemak sukaldatzen hasi aurretik lapikoa osatzeko zenbait osagai: Xabier Mauleonek egindako problema bilduma, internet sortu aurretikoa: https://goo.gl/xDXQ4R Curriculumaren atalean arabera sailkatuak. Item liberatuak, Ebaluazio diagnostikoa web gunean: https://goo.gl/BBFKaR ISEIek probetan erabili eta ondoren liberatutako bildumak. Eduardo Chillida Olinpiada matematikoan aurkeztutako problemak: https://goo.gl/CTteHF Urteko 8 problema 1. fase eta bukaerako faserako. Tornamira bilduma, Sarean euskaraz argitaratutako estraineko sorta: https://goo.gl/yZmRu4 Nafarroako Irakasleen elkarteak aspaldi egindako bilduma. Resolución de problemas, Isabel Echeniqueren lana LHrako 1. mailatik 6.era sailkatuak: https://goo.gl/l11Jsx LHn Problemen ebazpena lantzeko aukera bikaina. Problemen ebazpenaren alderdi teorikoa, Juanma Rodríguez lagunaren lana: https://goo.gl/FJ7Id5 Gogoan zaitugu lagun! Matematika-problemak LHn eta BHn, baliabide bildumak: https://goo.gl/p2s8KW eta https://goo.gl/62Hl1B Baliabide gehiago eta Problemen sortak.    Faltan sumatzen al duzu baliabideren bat? Aipa itzazu honako txantiloi honetan eta zerrendan gehituko dugu: https://goo.gl/Lfxkqw   BALIABIDEAK 2 RECURSOS LIBURUAK LIBROS LIBURUAK 1 LIBROS Los autores de este libro pertenecen al Grupo de Innovación Educativa (GIE) “Pensamiento Matemático” de la Universidad Politécnica de Madrid, quienes han contado con la colaboración de alumnos de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos en la ilustración de las viñetas cómicas. En este texto se recoge, en clave de humor, un buen número de conceptos matemáticos con el objetivo de atraer sobre ellos la atención de los estudiantes y visualizar y reconocer su interés y aplicación en la vida cotidiana. El libro hace referencia a la exposición “Ríete con las Mates: Viñetas Cómicas Matemáticas” que elaboró el citado grupo con la finalidad de divulgar y acercar al público en general, de forma clara, visual y divertida, conceptos cuyo estudio puede resultar árido. A través del humor y de la imagen se realiza un recorrido por más de una decena de temas matemáticos: los números, las series, las funciones o la lógica tendrán cabida en esta selección. Todos los capítulos tienen la misma estructura: Una breve explicación teórica y a continuación varias viñetas cómicas sobre el tema con comentarios aclaratorios para entenderlas. Y es que para reírse, con estas viñetas por lo menos, también es necesario algún conocimiento matemático.Éstos son los temas abordados: 1.- TÍTULO: Ríete con las Mates AUTOR: Mariló López y otros EDITORIAL: Tébar Flores ISBN: 978-84-7360-525-0  SASKI-NAHASKI PUBLICACIONES, NOTICIAS, .... ARGITALPENAK, ALBISTEAK,... CAJÓN DE SASTRE El resultado es un libro muy recomendable para estudiantes tanto de secundaria y bachillerato como de Universidad, y también para cualquier persona con cierta inquietud que quiera pasar un rato agradable revisando o actualizando conceptos matemáticos básicos.  7.- Sucesiones y series 8.- Funciones reales de variable real. 9.- Cálculo diferencial e integral 10.- Geometría 11.- Lógica 12.- Miscelánea  Éstos son los temas abordados: 1.- Teoría de conjuntos. 2.- Los Números 3.- Sistemas de Numeración 4.- Constantes matemáticas 5.- Operaciones matemáticas 6.- El infinito LIBURUAK 2 LIBROS LIBURUAK 3 LIBROS 2.- TITULO: Inteligencia matemática Autor: Eduardo Sáenz de Cabezón Editorial: Plataforma Editorial Colección: Actual ISBN: 9788416620418 Páginas: 234 Para entender la inteligencia matemática con juegos, acertijos, pensamiento lógico y la ayuda de grandes matemáticos  «¿Quién leería un libro sobre matemáticas sin que le obliguen?», se preguntará el lector de este libro. Porque al leer sobre ellas se corren varios riesgos… Tal vez cambiemos nuestra idea sobre las matemáticas, con las que hemos vivido tan cómodamente todo este tiempo, y es posible que terminen por gustarnos.  Este libro te mostrará que las matemáticas no son tan odiosas como aparentan; en ellas interviene la creatividad, la intuición, el cálculo, la imaginación, la técnica. Son una oportunidad de disfrutar de la realidad de una forma distinta. Porque, lo queramos o no, todos llevamos un matemático en nuestro interior, que tal vez se asustó en la escuela y permanece oculto en un rincón.  Inteligencia matemática es la oportunidad perfecta de experimentar por nosotros mismos las formas de razonar de los matemáticos. Tomemos lápiz y papel, garabateemos soluciones, dibujemos y emborronemos, y encontraremos la forma perfecta de leer este libro.  3.- TITULO: Las Mates con cuentos me molan AUTORA: Díaz Revilla Ascensión EDITORIAL: CCS COLECCIÓN : Ciudad de las Ciencias ISBN: 978-84-9023-358-0  LIBURUAK 4 LIBROS “Las mates con cuentos me molan” es un libro dirigido al alumnado de Educación Primaria, y a su profesorado, con el objetivo de motivar el aprendizaje de las matemáticas. Ofrece unos recursos (cuentos) que plantean una metodología diferente que ayude a los alumnos a potenciar, por una parte, su creatividad y, por otra, su comprensión lectora, facilitando de esta forma la comprensión conceptual. La autora, Ascensión Díaz, es profesora y pedagoga con amplia experiencia y trabaja en el colegio Santa María de Yermo de Madrid. Es autora también, en esta misma línea, del libro “Aprendiendo matemáticas con cuentos”. El libro es una colección de 21 cuentos cortos en los que, mediante pequeñas historias, se introducen o se abordan conceptos matemáticos elementales: los números, sus operaciones, las fracciones, la medida, conceptos geométricos como el segmento, la recta, el ángulo, área, volumen, circunferencia, cuerpos geométricos,… Da al profesorado la oportunidad de presentar los conceptos básicos, promoviendo la implicación de los chicos y chicas en las distintas historias, logrando una actitud activa, con lo que ello supone de facilitar y predisponer al aprendizaje. Es, sin duda, un recurso metodológico muy interesante para que el profesorado pueda introducir cambios y propuestas atractivas para los alumnos. Y, como es bien sabido, despertar el interés y conseguir una implicación emocional son factores imprescindibles para lograr aprendizajes sólidos y duraderos. Más información en : http://www.editorialccs.com/catalogo/ficha.aspx?i=4554   4.- TITULO: Gardner para principiantes AUTOR: Martin Gardner EDITORIAL: RSME - SM ISBN: 9788467574739  LIBURUAK 5 LIBROS Con motivo del centenario del matemático Martin Gardner, la Real Sociedad de Matemáticas y SM han publicado el libro Gardner para principiantes. Enigmas y juegos matemáticos, una colección de artículos relacionados con la matemagia, coordinada por Fernando Blasco, profesor de Matemática Aplicada en la Universidad Politécnica de Madrid. Gardner para principiantes. Ennigmas y juegos matemáticos es un libro pensado para ser leído por estudiantes de Educación Secundaria y Bachillerato por sí mismos, de modo que puedan iniciarse en la matemática recreativa y descubrir el gran abanico de posibilidades que, sin explicarse en las aulas por estar fuera del currículo oficial, las matemáticas elementales pueden ofrecer. La colección de artículos que se presentan es un material valioso para profesores que complementa sus clases de matemáticas y, puesto que contienen matemáticas elementales, estos ejemplos y problemas se pueden utilizar en todos los niveles educativos: desde la enseñanza infantil y primaria hasta la universidad. El profesor siempre podrá adaptarlo al caso concreto de su aula. Pero también es apto para cualquier otro lector: en él encontrará cuestiones que aparecen frecuentemente en los libros de matemática recreativa aderezadas con propuestas novedosas. El libro contiene 14 artículos (uno por cada uno de los valores de las cartas de la baraja francesa, más un comodín). Los temas que se presentan fueron tratados por Martin Gardner en sus escritos, como no podía ser de otra manera. Martin Gardner nació en Tulsa, Oklahoma (Estados Unidos), el 21 de octubre de 1914. Estudió Filosofía y se dedicó al periodismo en diferentes publicaciones, hasta que en 1956 comenzó una relación laboral estable con Scientific American, con la sección «Mathematical Games», desde la que divulgó juegos matemáticos durante 25 años y se convirtió en un referente de los juegos lógicos.  5.- TÍTULO: Fútbol y matemáticas AUTOR: David Sumpter EDITORIAL: ARIEL ISBN: 9788434423848  LIBURUAK 6 LIBROS Fútbol es fútbol, se dice. Pero es mucho más, fútbol también es matemáticas, o al menos una manera apasionante de aprenderlas.  Escuadra, parábola, triangulación. ¿De qué estamos hablando? La mayoría dirán que de fútbol. Pues bien, sí, pero también de matemáticas. Y es que como demuestra el matemático David Sumpter en este libro, se puede aprender mucho viendo un partido de tu equipo favorito.  Para empezar, podemos aprender estadística. Apostando, o analizando los pases realizados de un jugador cualquiera. Podemos aprender geometría analizando las triangulaciones del Barça actual o del Ajax de los setenta. Los modelos matemáticos nos podrán ayudar a entender cómo funciona la cooperación sobre el césped o, gracias a los cánticos de la grada, saber cuál es la clave de un fenómeno tan en boga como el contagio social o, en términos más actuales, la viralización.  Y es que por difícil que parezca, las matemáticas han tenido y tienen una importancia crucial en el desarrollo del juego. Una de las mayores revoluciones futbolísticas de los últimos años fue la introducción de los tres puntos para el equipo ganador como mecanismo de incentivo para favorecer el fútbol de ataque. Y nada mejor para entender los modelos probabilísticos que hacerlo a partir de los millones de microapuestas que se realizan a lo largo de cada minuto de un partido sobre los asuntos más descabellados.  Escrito por un experto matemático amante del fútbol, este libro no sólo es una manera diferente, entretenida y curiosa de aprender matemáticas, sino que permite al amante del deporte disfrutar del juego viéndolo desde una nueva y apasionante perspectiva.  6.- TITULO: MATEMÁTICAS. El fascinante mundo de los números AUTOR: Bertram Maurer EDITORIAL: NGV ISBN: 978-3-7716-0033-4  CONTRAPORTADA: Las aburridas matemáticas son cosa del pasado! Las matemáticas como tema de éxito: ¡son mucho más que fórmulas y lógica! - Contenidos fascinantes y fáciles de entender - El nuevo éxito de ventas sobre ciencias - Para estudiantes, profesores y científicos  Los que creen que las matemáticas no son más que una asignatura insulsa y aburrida, y que en todo caso solo pueden interesar a los profesores de instituto, con este libro cambiarán de parecer. Las matemáticas son fascinantes porque están presentes en todos los ámbitos de nuestra vida. Acompañe al autor en un apasionante y entretenido viaje por el mundo de los números, desde los inicios del álgebra en la Antigüedad hasta la teoría del caos de nuestros días. Desde Euclides, Pitágoras y Platón a Fibonacci, Newton, Gauss y Leibniz, le presentamos los descubrimientos y avances llevados a cabo por los matemáticos más destacados, no de una forma teórica y abstracta sino contextualizados en su época. Bertram Maurer, nacido en 1950, estudió matemáticas y física en la Universidad de Karlsruhe. Desde 1977 imparte clases de matemáticas, física e informática. Paralelamente a su actividad docente, estudió filología alemana e historia de las ciencias naturales. En 1998 se doctoró en el Instituto de Análisis Estructural de la Universidad de Stuttgart con un trabajo sobre Karl Culmann y la estática gráfica.  LIBURUAK 7 LIBROS 7.- TÍTULO: Las matemáticas en la Edad Media AUTOR: Pablo Martín Prieto EDITORIAL: EDICIONES LA ERGASTULA ISBN: 9788416242115  LIBURUAK 8 LIBROS La historia de las matemáticas constituye un centro de interés privilegiado dentro del cuadro de la evolución cultural e intelectual de la civilización occidental, sin cuyo conocimiento no es cabalmente posible obtener una idea completa de dicha evolución. Situadas a medio camino entre la época brillante y fundadora de las antiguas matemáticas griegas, y los triunfos de la Revolución Científica, las realizaciones de las matemáticas medievales, salvo por algunos de sus más renombrados cultivadores, han quedado por lo general obscurecidas y frecuentemente se tiende a menospreciarlas o a pasarlas por alto.  Pero aunque en profundidad y sofisticación las matemáticas medievales no pueden rivalizar con cualquiera de esas otras etapas, su balance de resultados no es, ciertamente, pobre, ni puede despacharse en tan breves líneas como a veces se hace. El propósito de este libro es ofrecer al lector un recorrido por los principales temas, desarrollos, obras y autores de interés para seguir la evolución de las matemáticas durante los siglos de la Edad Media occidental, tomando el legado matemático de la Antigüedad como necesario punto de partida y sin olvidar la contribución de otras tradiciones culturales (Oriente e Islam), hasta llegar a los albores del Renacimiento.  La riqueza y variedad de las contribuciones al conocimiento matemático realizadas durante la Edad Media iluminan un camino fascinante, que aquí se sigue combinando rigor y amenidad.  8.- TÍTULO: Nicolás Oresme y la Ciencia en el siglo de la peste AUTOR: Pablo Martín Prieto EDITORIAL: NIVOLA ISBN: 978-84-15913-25-2  Las contribuciones a las matemáticas y a la física del teólogo, economista, musicólogo, filósofo natural y matemático Nicolás Oresme cuentan entre las más originales e influyentes de todo el siglo XIV, hasta el punto de que algunos le han llamado el “Einstein del siglo XIV”.  Sus trabajos sobre exponentes, ratios de ratios y representación geométrica de las intensidades de cualidades sientan algunos fundamentos posteriormente aprovechados en la Revolución Científica del siglo XVII. También sus ideas sobre física, astrología y teoría monetaria, entre otros campos de conocimiento por él cultivados, le garantizan un lugar de privilegio en la historia de la ciencia.   Pablo Martín Prieto es profesor de historia medieval en la Universidad Complutense de Madrid e investigador sobre temas diversos de sociedad, política y cultura en la época medieval. Ha dirigido varias mesas redondas sobre historia de la ciencia y de las matemáticas en la Edad Media  LIBURUAK 9 LIBROS 9.- TÍTULO: En busca del cero AUTOR: Aczel Amir, D. EDITORIAL: Biblioteca Buridán ISBN: 9788416288908  LIBURUAK 10 LIBROS La invención de los números es posiblemente el mayor logro de la mente humana; prácticamente todo en nuestras vidas es digital, numérico, cuantificado. Sin embargo, el origen de los numerales que utilizamos y de los que dependen nuestras vidas ha estado durante siglos rodeado en el misterio. En busca del cero es el fascinante relato de algo que ha obsesionado al matemático Amir Aczel durante toda su vida: el deseo de encontrar las fuentes de nuestros números. Aczel lleva al lector a un fascinante viaje durante el cual cruza obstinadamente medio mundo, registrando viejos y mohosos documentos cubiertos de polvo, examinando y contrastando las diferentes teorías que ofrecen los expertos en esta cuestión, y finalmente penetrando en lo más profundo de la jungla camboyana en busca de una prueba definitiva.  La historia empieza con los primeros números cuneiformes de Babilonia, y sigue luego con los numerales griegos y romanos, pero entonces Aczel formula la pregunta clave: ¿de dónde proceden los números que utilizamos hoy, los llamados numerales indo-arábigos? Inicia así una búsqueda que le lleva a explorar territorio desconocido y a rastrear diversos lugares de la India, Tailandia, Laos, Vietnam y la jungla camboyana. Allí encuentra finalmente el cero más antiguo, la piedra angular de todo nuestro sistema numérico, en una tableta de piedra que durante mucho tiempo formó parte de la pared exterior, ahora cubierta de enredaderas, de un templo del siglo VII. Un puñado de fascinantes personajes acompañan a Aczel durante su odisea: académicos que buscan la verdad, senderistas que buscan la aventura, políticos sorprendentemente honestos y hasta ladrones de tesoros arqueológicos no tan honestos, cada uno de los cuales ayuda a Aczel a descubrir dónde empezaron originalmente los números.  LIBURUAK 11 LIBROS 10.- TÍTULO: Matemáticas de 3 a 7 años AUTOR: Alexander Zvonkin EDITORIAL: RSME - SM ISBN: 978-84-675-8289-5  Esta obra, que la Real Sociedad Española de Matemáticas y SM publican conjuntamente, es un diario en el que el matemático ruso Alexander Zvonkin registró las actividades matemáticas que desarrolló con un grupo de niños, formado por sus dos hijos y algunos de sus amigos, de forma regular y adaptada a la edad: sesiones de media hora con carácter semanal o quincenal. Una de las técnicas didácticas que más fascinan a la comunidad matemática es la de los Círculos Matemáticos, practicada en la Europa del Este. La integración es vertical: alumnos jóvenes interactúan con otros mayores, estudiantes universitarios, licenciados, matemáticos industriales, profesores e incluso investigadores de talla mundial, todos dentro de la misma sala. Su objetivo es analizar problemas más que temas matemáticos. Se transmiten estos conocimientos a los alumnos, no a partir de una educación formal, sino practicando las matemáticas y observando cómo las practican otros. Alexander Zvonkin trasladó esa experiencia a un Círculo Matemático para alumnos de preescolar creado en su casa. Como el autor repite en varias ocasiones, que nadie espere encontrar en este libro un “método para enseñar matemáticas”; el objetivo es más modesto —y más interesante— porque en la transcripción de las sesiones se puede aprender de los aciertos —y de los fracasos— de sus planteamientos. También se puede apreciar de forma muy clara la dificultad del trabajo del maestro: lo importante que es saber estar en silencio mientras los niños toman la iniciativa y, por encima de todo, lo difícil que es enfrentarse a la situación de un niño atascado ante un problema y cómo hay que intentar darle la información mínima necesaria para sacarle de ese estado, sin revelarle más de lo imprescindible sobre el desarrollo de la actividad. El cine es una fábrica de ilusiones que muestra una vida soñada, donde los escenarios son espectaculares, las personas atractivas y los sentimientos puros. Para alzar esos sueños, los estudios cinematográficos cuidan a un mismo tiempo la grandiosidad y los detalles: actores con estudiados vestuarios y maquillajes; escenarios de fábula; diálogos intensos; música grandiosa y seductora… Aunque con frecuencia se descuidan los aspectos matemáticos a los que parece que ni guionistas, ni productores, ni directores prestan mucha atención, pero que, como ocurre en la vida real, obstinadamente están ahí. En esta obra se presentan varias desventuras, casi todas con solución, en esa relación entre cine y matemáticas. Un vistazo a la lista de temas que se tratan en las sesiones -la banda de Möbius, un poco de topología, intersección de conjuntos, teoría de la probabilidad, …) puede sorprender al lector familiarizado con las matemáticas que estudian los niños en educación Infantil y primeros cursos de Primaria. Justamente, uno de los mayores logros del libro es mostrar cómo se pueden diseñar actividades que introducen conceptos matemáticos avanzados a niños de edades tempranas y, además, de forma que el niño tome la iniciativa y se convierta en protagonista de la actividad. ¿Lo consigue el autor? ¡No siempre! De hecho, lo más sorprendente de este libro, uno de sus mayores encantos, reside en que parte de lo que relata son fracasos. Como alguien capaz de resolver problemas de manera ejemplar, Zvonkin pone a prueba varias ideas y trata de ver si funcionan. Si no lo hacen —algo que ocurre con más frecuencia de la que podríamos suponer—, intenta comprender el porqué y continúa con algo distinto. Así es como se hacen las matemáticas y así es como funcionan los círculos matemáticos para escolares. Más información  11.- TÍTULO: Cine y matemáticas: Resolviendo problemas AUTOR: J.M. Sorando EDITORIAL: Guadalmazan ISBN: 978-84-94471-79-7  LIBURUAK 12 LIBROS 12.- TÍTULO: las matemáticas en la guerra AUTOR: Vicente Mediavilla EDITORIAL: Guadalmazan ISBN: 978-84-94471-78-0  LIBURUAK 13 LIBROS Pasearán por sus páginas entre el cine de catástrofes, usos desdichados de las matemáticas en los guiones de cine y televisión, adversidades, miserias e infelicidad de los protagonistas provocadas por las matemáticas o con solución gracias a ellas… Para ejercer esa mirada, nos apoyaremos en propiedades y conceptos como son, entre otros: la semejanza, las progresiones, las funciones, los límites, los fractales, los logaritmos, las ecuaciones, los números primos, las series infinitas, la trigonometría... ¡Que nadie les tema! Están con nosotros, algunos desde hace más de dos mil años, para ayudarnos a mirar mejor, comprender con más agudeza y actuar con más eficacia. Están de nuestra parte.  Lanzamiento de proyectiles, diseño de fortalezas, mensajes cifrados, situación en el campo de batalla... muchos son los elementos militares en los que las matemáticas son imprescindibles. En una mutua implicación las matemáticas han ayudado a desarrollar y mejorar los fundamentos de la guerra y, al mismo tiempo, se han desarrollado por el empuje del belicismo.  Desde la antigüedad, los conocimientos e investigaciones de los científicos (en general) y de los matemáticos (en particular) han estado influidos y promocionados por estamentos que, en apariencia, están poco o nada relacionados con la Ciencia y las Matemáticas. En la presente obra ofrecemos algunos ejemplos de la influencia de las guerras y la milicia en la transmisión y el desarrollo de las Matemáticas, para ayudarnos a comprender mejor su evolución a lo largo del tiempo.  En sus páginas encontrará, entre otras cuestiones, una antología de problemas bélicos, un teorema geométrico de Napoleón Bonaparte, algunos métodos criptográficos clásicos utilizados en periodos de guerra, ciertas aplicaciones de las Matemáticas a la fortificación y a la artillería, el uso de la esvástica en logotipos e insignias militares ajenos al nazismo, un catálogo de militares que influyeron en el desarrollo o transmisión de las Matemáticas o una lista de matemáticos que estuvieron relacionados con el ejército...   ¿Hay reglas que rigen la azarosa ruleta?, si es así ¿cómo las usan los casinos? ¿Puede ganar un burro una cata de vino? ¿Quién es el maléfico «demonio de Laplace»? Descubra, a través de este libro, cómo el azar está siempre presente en nuestras vidas.   Las matemáticas y el azar es un sencillo pero muy enjundioso libro que, de manera amena y original, pone de manifiesto las numerosas paradojas, falacias e incoherencias en las que podemos incurrir por el desconocimiento de los conceptos básicos del azar. La influencia de éste en nuestras vidas es un hecho constatable, y explica muchas de las cosas que nos ocurren, tanto irrelevantes como cruciales; si el fracaso o éxito de muchas de las decisiones que tomamos depende de él, entonces, ¿cómo no conocer los fundamentos y leyes por las que se rige? Esta obra nos ayudará a comprenderlas mejor, y a tenerlas en cuenta en nuestra rutina diaria, en nuestro ámbito personal y profesional. La probabilidad, bien o mal aplicada, puede hacer que veamos la realidad de una forma más o menos veraz (con todo lo que eso conlleva). Aunque siempre debe quedarnos claro que el hecho de que el azar esté modelizado por las matemáticas no implica que esté dominado por ellas (ni por nosotros)... Olvidar esto puede traer graves consecuencias.  LIBURUAK 14 LIBROS 14.- TÍTULO: Dedekind. El arquitecto de los números AUTOR: Carlos Sánchez, Luis G. González EDITORIAL: Nivola ISBN: 978-84-92493-86-9  13.- TÍTULO: Matemáticas y el azar AUTOR: Angel Hernández EDITORIAL: Guadalmazan ISBN: 978-84-94471-70-4 Richard Dedekind tuvo el privilegio de poder crecer tras las huellas de ese coloso de los números que fue Gauss. Después fue alumno, amigo y albacea de la herencia científica de Dirichlet y Riemann.  Su intercambio con Cantor sirvió para que Dedekind decidiera que era el momento de publicar su obra más madura: "¿Qué son y para qué sirven los números?" Creció a la sombra de estos gigantes, pero nunca tuvo la intención de alzarse sobre sus hombros, ni la ambición de ser considerado como su igual.  Dedekind ideó una forma muy original de construir los números reales y diseñó diferentes estructuras para investigar los números algebraicos. Por esto, a fuerza de diseñar y construir bien, se convirtió en el arquitecto de los números.  15.- TÍTULO: Problemas para la instrucción de los jóvenes AUTOR: Alcuino de York. Traducción y notas Ricardo Moreno EDITORIAL: Nivola ISBN: 978-84-15913-27-6  Alcuino de York (736-804) participó en la gran reforma educativa emprendida por Carlomagno y quiso convertir al Imperio Carolingio en una nueva Grecia, pero empapada por el espíritu cristiano.  "Problemas para la instrucción de los jóvenes" es quizá el primer libro de matemáticas recreativas. Es una compilación de cincuenta y tres cuestiones matemáticas elementales: trece de los problemas son de aritmética (alguno de ellos de progresiones), diez de álgebra elemental, nueve de teoría de números y doce de geometría. Los nueves restantes son acertijos y adivinanzas. El libro no alcanza la calidad de lo que por entonces se estaba haciendo en Bagdad, pero son una muestra del estado de la matemática en el Occidente europeo antes de que éste entrara en contacto con la ciencia árabe. Por esta razón merecen ser conocidos y estudiados.  LIBURUAK 15 LIBROS 1.- SESTAOKO XVIII JARDUNALDI MATEMATIKOAK: 2017ko otsailaren 13tik 16ra XVIII JORNADAS MATEMÁTICAS: del 13 al 16 de febrero de 2017   Otsailaren 13 eta 14. Haur eta lehenhezkuntza Ángel Alsina Otsailak13, astelehena 9:30-10:00XVIII MatematikaJardunaldienaurkezpena 10:00-13:30."MATEMATIKA KOPETENTZIATIK alfabetatze estatistikora, probabilitatezkora eta aljebraikora, haur eta lehen hezkuntzan (1) 11:30-12:00.Atsedenaldia  Izenaemateko: https://goo.gl/eUOaHr otsailak14, asteartea 9:30-13:30."MATEMATIKA KONPETENTZIATIK alfabetatze estatistikora, probabilitatezkora eta aljebraikora, haur eta lehenhezkuntzan (2) 11:30-12:00. Atsedenaldia Izenaemateko: https://goo.gl/c2l9je Lekua: SANTA CLARA KULTURTEGIA  13 y 14 deFebrero. Infantil y Primaria Ángel Alsina   13, lunes 9:30-10:00. Presentación de las XVIII JornadasMatemáticas   10:00-13:30."De la competencia matemática a la alfabetización estadística, probabilística y algebraica en Infantil y Primaria" (1)  11:30-12:00.Descanso Para apuntarte : https://goo.gl/u9YnK5 14, martes 9:30-13:30."De la competencia matemática a la alfabetización estadística, probabilística y algebraica en Infantil y Primaria" (2)  11:30-12:00. Descanso Para apuntarte: https://goo.gl/1KPVbb Lugar: SANTA CLARA KULTURTEGIA  https://sites.google.com/site/xviiimatematikajardunaldiak/home  ALBISTEAK INFORMACIONES ALBISTEAK 1 INFORMACIONES SASKI-NAHASKI PUBLICACIONES, NOTICIAS, .... ARGITALPENAK, ALBISTEAK,... CAJÓN DE SASTRE Más información Otsailaren15 eta 16 d.b.h. Raúl Ibáñez / MartaMacho/ Rafael Losada   otsailak15, asteazkena Raúl Ibáñez 09:30-11:15. "Hilketetaz, detektibeetaz eta teoremetaz" 11:15-11:45.Atsedenaldia MartaMacho 11:45-13:30: "Emakume matematikoak: beren ekarpenak eta borrokak" Izenaemateko :https://goo.gl/dzsSx7 Otsailak 16, OSTEGUNA 9:30-13:30. "Ikusi, ikutu, dastatu: gourmetentzako Matematika" 11:30-12:00.Atsedenaldia  Izenaemateko:https://goo.gl/YYqjen Lugar:Portugaleteko U.N.E.D.  15 y 16 de febrero. E.S.O. Raúl Ibáñez / Marta Macho/ Rafael Losada   15, miércoles Raúl Ibáñez 09:30-11:15. ”De asesinatos, detectives y teoremas” 11:15-11:45.Descanso Marta Macho 11:45-13:30. ”Mujeres matemáticas: sus aportes y sus luchas” Para apuntarte: https://goo.gl/Z28A15 16, jueves 9:30-13:30. "Ver, tocar, gustar: matemáticas para gourmets” 11:30-12:00.Descanso Para apuntarte:https://goo.gl/l3GT2U Lugar:Portugaleteko U.N.E.D. 2.- OLIMPIADAS MATEMÁTICAS EN MARCHA 2.1. EDUARDO CHILLIDA OLINPIADA   Informazio gehiago ALBISTEAK 2 INFORMACIONES ALBISTEAK 3 INFORMACIONES Más información 2.2.- ARABAKO VII. OLINPIADA MATEMATIKOA (l.h.ko 6.maila) 7ª OLIMPIADA ALAVESA PARA 6º DE PRIMARIA  Informazio gehiago 3.- Informazioa gehiago / Más información 5.1.- ” Diseño e implementación de experiencias didácticas con calculadora” Trabajo en plataforma Moodle: del 10 de Enero al 21 Octubre 2017 1ª Sesión presencial: Córdoba 10 y 11 de febrero 2017 2ª sesión presencial: Castro Urdiales: 20 y 21 Octubre 2017  ALBISTEAK 4 INFORMACIONES 4.- Málaga, 21 y 22 de abril de 2017 El plazo de inscripción se abrirá el 20 de febrero de 2017 y permanecerá abierto hasta las 24 horas del día 31 de marzo. La inscripción se hará a través de la página web: http://thales.cica.es/geogebra   5.- SEMINARIOS ORGANIZADOS POR LA FESPM  ALBISTEAK 5 INFORMACIONES 5.2.- Seminario federal sobre resolución de Problemas (Trabajo en plataforma Moodle) 1ª sesión presencial: 21 y 22 de enero en Madrid 2ª sesión presencial: 12, 13 y 14 de mayo en Castro Urdiales 5.3.- Seminario paseos matemáticos Sesiones presenciales:   Primera jornada: Madrid, 18 y 19 de febrero de 2017 Segunda jornada: Córdoba,11, 12 y 13 de noviembre de 2017  2011emie@gmail.com Maketazioa, argitalpena eta azalaren argazkiak: Emilio Azueta A02 berritzeguneko aholkularia HURRENGORA ARTE !!! Zuen gustokoa izatea espero dugu. Edozein iradokizun, ekarpen, proposamenerako idatzi helbide honetara: ¡¡ HASTA EL PRÓXIMO !! Esperamos haber sido de vuestro agrado. Para cualquier sugerencia, aportación, propuesta... escribidnos a la dirección: BULETINA BOLETÍN EUSKADIKO MATEMATIKA IRAKASLEEN ELKARTEA SOCIEDAD DE PROFESORADO DE MATEMÁTICAS DE EUSKADI Nº 1 Zk 2017